對一道關聯速度競賽題的理解與探究

許永為

(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

對一道關聯速度競賽題的理解與探究

許永為

(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

對《新編高中物理奧賽指導》中一道關于關聯速度探尋的題目，經過仔細研讀和解答后，發現這道題目有值得推敲與商榷部分.現將這道題目呈上，希望與各位老師和同學一起交流、探討.

關聯速度 速度的分解 微元法 微分法

1 原題及原題參考解析

【原題】如圖1所示，AB桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為R，當桿與水平線的交角為θ時，求桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點C的速度.若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上，桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動，則桿與圓柱接觸點C′的速度大小為多少[1]？

圖1 題圖

書上第一部分參考解析：由于半圓周靜止，桿上C點的速度的法向分量為零，故桿上C點的速度必在沿桿方向上.以C點為基點，將桿上A點速度v分解成沿桿方向的分量v1和垂直于桿方向的分量v2，如圖2所示，則v1是A點與桿上C點相同的沿桿方向平動的速度，v2是A點對C點的轉動速度.故桿上C點的速度為

vC=v1=vcosθ

又

v2=vsinθ=ω·AC

而

AC=Rcotθ

故

圖2 分析A點速度

書上第二部分參考解析：桿與圓柱交點C′沿圓周運動，桿轉過的角度與半徑轉過的角度相同，所以桿的轉動角速度與C′點的角速度相同，如圖3所示，所以C′點的速度為

圖3 角速度分析

以上部分是書上的參考解析.從給出的兩部分參考解析中可以知道，點C是桿上的點，而點C′是圓柱上的點，它們同是桿與圓柱的切點.兩者雖為同一個點，但是兩者之間是有相對滑動的，因為兩者速度的大小不一樣.

2 疑問

在第一部分解析中，求解了桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點C的速度.此部分解答準確無誤.

但是在第二部分解析中，筆者產生了疑問.且看第二問的問法：若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上，桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動，則桿與圓柱接觸點C′的速度大小為多少？

如圖4所示，桿子在圓柱上轉動

vC=v1=vcosθ

v2=vsinθ=ω·AC

故

所以C′點的速度為

圖4 桿在圓柱上轉動分析

可見桿子在圓柱和圓周上轉動的角速度大小不同，且C與C′點速度的大小也不同.

如果此題的圓柱指的就是半圓周，那么書上第二部分參考解析則是正確的，但是第二部分參考解析給出的圖3卻畫成了一個圓，與半圓周矛盾.

綜上，筆者認為可將題目中第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱，同時將圖3改成半圓周.這樣對讀者的指向性會更強烈，方便讀者理解.

3 圓柱上C′點的速度的兩種其他解法

方法1：采用微元法來討論極短時間內位置的變化來求圓柱上C′點的速度.

如圖5所示，嘗試讓桿轉動一個很小的角度Δθ，桿子由AB運動到A′B′，所用的時間為Δt，此時圓柱半徑對應轉過的角度是Δθ.半徑運動的弧長為RΔθ,C′的速度為

當Δt→0時，Δθ→0.

圖5 方法1分析圖

由圖中的幾何關系可得

又

AEsin Δθ=AD

由于Δθ→0，故sinΔθ=Δθ,化簡得

故

所以

此法較為繁瑣，高中學生需要具備微元思想，是物理競賽中常用的一種方法.

方法2：還可采用微分法求解

化簡得

故

負號代表逆時針.

此法較為簡單，高中學生需要具備初等高等數學基礎，才能事半功倍.此法也是物理競賽中常用的一種方法.

4 反思

本道習題考查了接觸物系關聯速度問題，用了3種方法，使學生得到了良好的訓練.本道題的問題集中在對橫臥圓柱體的不同理解，如果理解成圓柱的截面是個圓周，那么會出現不同的答案.所以，筆者認為可將題目第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱，同時將圖3改成半圓周，以方便讀者對本道題的解讀.當然教師也可以利用這個機會，讓學生研究桿子在圓周上轉動的情況，這是培養學生探究精神，訓練學生發散思維的好機會.

1 范小輝.新編高中物理奧賽指導(第6版).南京：南京師范大學出版社，2012.12～13

2016-10-11)