初中數(shù)學(xué)錯題運作的實踐探索

莊國軍

（浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋金帆實驗學(xué)校，浙江杭州 311210）

1　問題的提出

1.1　錯題出現(xiàn)的必然

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，錯題是不可避免的，無論教師還是學(xué)生，無論課內(nèi)還是課外，考試還是作業(yè)，錯題的大量存在，是教學(xué)過程中一筆寶貴的原始資源，錯題資源利用的好壞，將直接影響教學(xué)效率，對教學(xué)效率更是起著推動作用。

1.2　錯題存在的現(xiàn)狀

在平時學(xué)習(xí)中，對于錯題往往是學(xué)生害怕、擔(dān)憂，教師煩惱、生氣，很多教師只是叫學(xué)生訂正一下，然后草草了事。更有甚者對錯題置之不理，放在一邊，缺乏一種新的應(yīng)對理念和策略，這樣的處理方式使數(shù)學(xué)教學(xué)的第一首寶貴資料沒有得到充分重視和利用，學(xué)生解決問題的能力不能得到有效提升，教學(xué)實效性不能得到充分體現(xiàn)。

1.3　錯題利用的意義

錯中悟正——通過訂正錯題，來找到正確的解法和答案，學(xué)生可以悟得正確的知識，正確的方法和正確的結(jié)果，避免犯同樣的錯題。錯中知新——很多數(shù)學(xué)題涉及的知識點是相通的，在利用錯題過程中，學(xué)生能夠?qū)W到與之相關(guān)的新知識。錯中提效——對錯題的科學(xué)合理利用，可以讓學(xué)生少走彎路，提高解題的時效性，避免時間的流失。

綜合上述，對學(xué)生的錯題只要我們理性理智地看待，并冠之以科學(xué)合理的使用方法，相信可以讓“錯題”發(fā)揮出應(yīng)有的功能。

2　錯題認(rèn)識與策略構(gòu)建

2.1　概念界定

錯題，這里所指的錯題是指廣義的錯題，答案錯方法錯，答案錯方法對，答案對方法錯等都屬于錯題，包括一些因行為習(xí)慣、心理因素導(dǎo)致的錯誤也屬于其中的錯題，不以過程、答案為標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)。

數(shù)學(xué)新課程改革的根本目的是推進素質(zhì)教育，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點。創(chuàng)新需要有錯誤，更需要糾正錯誤，可以說沒有錯誤，就沒有創(chuàng)新。所以對錯題的綜合運作同樣也符合新課標(biāo)的要求。

2.2　策略構(gòu)建

面對各種類型的錯題、不同時間原因產(chǎn)生的錯題，教師、學(xué)生如何去有效利用這些錯題？沒有統(tǒng)一整理、分類，想找到自己原來做錯的題很難，更談不上建錯題目錄索引。沒有對錯題之間進行橫向、縱向的比對，同一種錯題多次出現(xiàn)。教師層面沒有對錯題整體性、系統(tǒng)性的總結(jié)、歸納，更多的是在課堂中一講而過，同樣讓寶貴的錯題資源從指間溜走。

針對以上情況，本文對學(xué)生錯題的策略將從整錯、糾錯、用錯、賞錯四方面來運作，通過建錯題索引，究錯題根源，用錯題平臺，賞錯題癥狀，全面合理的運作錯題資源，發(fā)揮錯題的應(yīng)有作用。

3　錯題運作的實踐研究

3.1　錯題的整合

整合是錯題運作的第一步，主要是教師指導(dǎo)學(xué)生去建一套科學(xué)、合理、完整的，適合學(xué)生自己的錯題集。整錯階段，要建立一定的目錄索引，為學(xué)生后續(xù)的錯題找到屬于自己的“家”，也便于學(xué)生將來能有序的找到相應(yīng)的錯題，不同的時段采取的索引方式和方法也是不同的。整理時同一類型問題可只記錄典型的問題，不一定每個錯題都記。

3.1.1　以時間先后建索引

以初中3年為階段來看，錯題集可以以學(xué)期為單位，七上、七下、八上、八下、九上、九下，細(xì)化到每個學(xué)期，可以以單元或者一周為單位進行錯題整理。例如圖1：有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，則化簡|ab|-|a+b|的結(jié)果是（）

A.2aB.2bC.2a-2bD.2a+b

圖1　有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置

通過此題可以得出在絕對值化簡上存在問題。同時七上一學(xué)期來的學(xué)習(xí)，在有理數(shù)、實數(shù)的運算上的錯題進行積累，從中學(xué)生可以找出平時自己在計算上存在的易錯點。

3.1.2　以錯題性質(zhì)建索引

通過階段性學(xué)習(xí)，將自己的常見錯題進行分類，例如審題不清、概念模糊、計算錯題、法則定理弄錯，無思路、做不出，考慮不全等等，這樣分類的優(yōu)點在于能按錯因查找，給今后的復(fù)習(xí)帶來簡便，另外也簡化了“錯題集”，整理時同一類型問題可只記錄典型的問題，不一定每個錯題都記。例如：若，則a取值范圍是__________。此題的錯誤就是由于對不等式性質(zhì)概念的不清導(dǎo)致，故可以歸到概念不清類錯題。隨著錯題積累，也很容易看出自己在哪方面的錯題率是最高的，以便以后學(xué)生有針對性地進行訓(xùn)練，同時也提醒學(xué)生自己，以后碰到類似問題需要高度重視。

3.1.3　以數(shù)學(xué)題型建索引

這是屬于最簡單的錯題整理，即將錯題分為選擇、填空和解答三類題型進行分類。這種分類有明顯的不足之處在于不能很好地區(qū)分錯題原因。但也有其優(yōu)越的一面，對于以后如何解選擇題、如何解填空題，如何提高解答題的得分率都會有很大幫助。當(dāng)把所有選擇題、填空題的錯題歸在一起，除了知識點上錯誤之外，很多也有技巧上的錯誤，那么當(dāng)很多相同的錯誤放在一起，學(xué)生很容易得出解題的技巧。

另一個題型建索引可以從思想方法的角度建索引，如數(shù)形結(jié)合、分類討論，方程思想等，這種方法對初三學(xué)生比較適合，知識已經(jīng)比較全面，學(xué)習(xí)也已進入最后階段，以綜合類的題型來建立自己的錯題庫，對學(xué)生而言，自己哪一類題型存在不足，可以有針對性的訓(xùn)練，這對學(xué)生來找自己的薄弱點也有一定的幫助。

3.1.4　以知識內(nèi)容建索引

從初中數(shù)學(xué)知識的角度來講，錯題可以按照代數(shù)錯題、幾何錯題、函數(shù)錯題建立索引，其中下面又可以建立相應(yīng)的分支索引，例如代數(shù)錯題下面可以建立實數(shù)運算類錯題、方程、不等式錯題，以知識內(nèi)容來建立的索引，便于學(xué)生以后能根據(jù)自己的薄弱內(nèi)容來查看以前的相應(yīng)錯題。幾何錯題下面可以建立平行線、三角形、圖形變換、四邊形、圓等。以知識內(nèi)容建的索引，相信對于學(xué)生以后查找錯題能更直觀方便。

3.2　錯題的糾正

錯題的糾正關(guān)鍵在于究其根源，任何形式上的糾正都是暫時的，無效的，換種類型學(xué)生還是會犯同樣的錯題。故無論是何種糾錯方式，都要從根源上入手，切入要害，不僅要讓學(xué)生知道正確的過程和結(jié)果，更要讓學(xué)生了解隱藏在錯題背后的原因。那么對于錯題究竟誰可以幫助學(xué)生去糾錯，糾錯的形式又有哪些？隱藏在錯題背后的真正原因又是什么呢？這些正是錯題糾正需要深入探索的。

3.2.1　糾錯的形式

對于自糾類的題型，更多的是學(xué)生由于粗心、概念不清、計算錯題等引起的，拿到錯題后通過獨立的思考、計算能完成的。例如：下例錯題：=2×（-2）3-2×（-3）+5=2×（-6）+6+5=-1，2a2×3a3=6a6， 顯然第一例是學(xué)生由于運算中對乘方的概念不清引起的，第二例是由于對同底數(shù)冪的乘法法則和乘法運算相混淆引起的。對于這樣的錯題，學(xué)生一般通過自我推敲，能獨立的糾正。

3.2.2　如何去糾錯

(1)糾過程、糾結(jié)果、究原因。

對于任何一道錯題，就題目本身而言，其糾正包括原因、過程和結(jié)果。拿到錯題，首先看下錯題的原因，接著再看如何糾正錯題的過程，最后產(chǎn)生一個正確的結(jié)果。那么，真正的糾錯包括糾過程、糾結(jié)果、糾原因。

糾過程，哪一個環(huán)節(jié)出錯了，也就是找到病因，然后“對癥下藥”，過程糾正是比結(jié)果糾正更重要，正確的結(jié)果來自于完整、正確的解答過程，過程也是學(xué)生知識體現(xiàn)的重要一環(huán)。例如：△ABC的三邊分別為AC=5,BC=12,AB=13,將△ABC沿AD折疊,使AC落在AB上，求折痕AD的長。有學(xué)生直接就訂正為：∴AD=而忽略了過程，對于這樣的訂正，可以說是最粗略、最表面的。這主要受小學(xué)數(shù)學(xué)思維的影響，學(xué)生潛意識認(rèn)為，只要答案對，題目就已經(jīng)訂正好了。這種錯題的思想將直接影響糾錯的質(zhì)量。

糾結(jié)果，結(jié)果的糾正是糾錯必不可少的一步，它也是糾錯完整性的一步，只有結(jié)果的糾正，形式上才能意味著一道題糾錯完畢。糾原因，任何一個錯題，其背后都有其錯的原因。知識上、方法上、思想上等，有些錯誤也是由于學(xué)生本身解題習(xí)慣和聽課習(xí)慣導(dǎo)致的，這也是錯題真正需要糾正的核心原因。只有把隱藏在錯題背后的原因弄清了、搞懂了，學(xué)生才能避免犯同樣的錯題。例如學(xué)生在解題時老是不寫輔助線的添法，畫上就做。這就是由于平時的解題習(xí)慣所導(dǎo)致的。

（2）究知識、究方法、究思想。

一道錯題，有些是由審題不清、計算錯題引起的，而有些則是由知識的不系統(tǒng)、不全面引起的。這時探究知識顯得尤其重要，通過糾正錯題來鞏固原有知識，讓知識系統(tǒng)更完善、更全面。例如八上教材P82頁課后習(xí)題：如圖 2，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，則 AD 平分∠BAC，請說明理由。

圖2

解：∵∠1=∠2（已知）

∴BD=CD（一個三角形中，等邊對等角）

∵∠ABD=∠ACD=90°（已知） 且 AD=AD∴ΔABD≌ΔACD

∴∠BAD=∠CAD∴AD平分∠BAC。

這是很多學(xué)生的做法，過程不錯、結(jié)果也不錯，但學(xué)生都沒有用最簡潔的方法去解決，即用角平分線定理的逆定理。對于這種題目的訂正，顯然有助于學(xué)生知識體系的完整。

這不僅浪費了大量的時間，對考試的心理也起到了一定的阻礙作用。所以糾錯過程中，找捷徑、尋正解、究方法就比較重要了。

究思想，這對學(xué)生的要求比較高，但這也恰恰是糾錯的最高意境。通過糾錯，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)思想、理解數(shù)學(xué)思想、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，那么對于學(xué)生而言，真正做到了糾正一題、掌握一類。例如八上數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)B中有一題：如圖3，在長方形ABCD中，AB=4cm，BC=5cm，點P從點A開始以1cm/s的速度向點D運動，設(shè)點P運動的時間為ts,四邊形BPDC的面積為Scm2,當(dāng)⊿BCP為等腰三角形時，求四邊形PDCB的面積。很多學(xué)生只做出了一種答案，而少了其他兩種情況，此題在訂正時，可以滲透分類討論的思想，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)情況的多樣性。

（3）糾課堂、糾習(xí)慣、糾能力。

對于初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)錯題，其科學(xué)合理的糾正包括三層糾正，簡稱三糾。一糾過程和結(jié)果原因，二糾知識、思想和方法，三糾課堂、習(xí)慣和能力。糾課堂、糾習(xí)慣、糾能力是對糾過程、糾結(jié)果、糾原因和糾知識、糾方法、糾思想的更深入研究和有效提升，它是由錯題來反思學(xué)生平時聽課效率、解題習(xí)慣和思維能力。

綜合上述，這也是對錯題從表面到背后，從前臺到后臺全方位的糾正，糾正一個錯題，消滅一類錯題；糾正一個錯題，知道一種方法；糾正一個錯題，養(yǎng)成一種習(xí)慣。讓糾錯不僅僅停留在作業(yè)本上、試卷上、糾錯本上，而從思想方法上，聽課習(xí)慣做題習(xí)慣上等得到真正的改正。讓錯題發(fā)揮出應(yīng)有的映射功能。

3.3　錯題的利用

通過錯題來調(diào)整教師的備課方向和教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識。讓學(xué)生通過找錯、辨錯、評錯、變錯來進一步融會貫通知識，讓錯題資源再次發(fā)揮出巨大的教學(xué)功能。

（1）找錯：教師通過整合，給出10～15錯題作為一次作業(yè)，這些錯題可以來自以前學(xué)生的錯題，也可以是網(wǎng)絡(luò)或者其他資料，由學(xué)生獨立的來完成找錯。例如：七下錯題集錦：的算術(shù)平方根是是分?jǐn)?shù)，若 a2=2，則

x4-16=(x2+4)(x2-4)……可以是結(jié)果錯也可以是過程錯，錯題的形式是多種多樣的。找錯可以課堂中以題組形式出現(xiàn)，也可以是課后作業(yè)的形式，亦可以簡單的小測驗，讓學(xué)生以錯辯正，以錯悟正。

（2）辨錯：教師可以通過同一題由不同的學(xué)生產(chǎn)生不同的錯題，讓學(xué)生進行辨別。從第一步就開始錯了，而有些可能是因為計算能力沒過關(guān)，后面幾步開始錯了，也有可能考慮不全，錯在最后幾步上，更有甚者可能錯在格式上等，讓學(xué)生在辨別錯題的過程中，去體會和了解錯題的錯誤過程，同時使自己在以后的解題中引起注意和警惕。

教師可以引入具體的錯題進行辨別：例如在直線l上找一點，和線段AO構(gòu)成等腰三角形，這樣的點O有幾個？有學(xué)生通過作圖后回答是3個。在等腰三角形中，如果∠A=50°，則∠B=75°或 80°。 表面上，這兩個題目的錯題是沒任何關(guān)聯(lián)，但其本質(zhì)都是數(shù)學(xué)分類思維的不全面和不完整。通過這兩個錯題的辨析之后，學(xué)生對分類思想的理解會更深刻。

（3）評錯：主要是由學(xué)生來評析隱藏在錯題背后的原因。有些是概念混淆，有些是能力有限等等。讓學(xué)生來評錯的同時，其本身也是在學(xué)習(xí)。對概念的深入，對難點的突破都是有幫助的。例如，在評論錯題其中x滿足0。

（4）變錯：通過大量的錯題整理和糾正后，學(xué)生可以從自己的糾錯本中，找出幾個典型的錯題，并進行適當(dāng)?shù)男薷模瑢﹀e題進行變式，由其本人來設(shè)計易錯題型。例如A同學(xué)對自己的錯題進行變式，可以讓B、C、D……同學(xué)進行演練，從而來找出其他存在的漏洞。

班級中有些錯題是大家共性的，可能絕大部分同學(xué)都會犯，通過設(shè)錯，讓A同學(xué)的典型錯題，讓其他同學(xué)也來做一做，試一試，看看大家是否也會犯同樣的錯題。例如：在學(xué)一元二次方程時：試判斷關(guān)于x的方程（a-1）x2+（2a-1）x+a-4=0 的根的情況。

學(xué)生A原來自己這個類型的題錯了，糾正后，他通過對原題進行一定的變式，涉及上述題目，其他同學(xué)一做，全班的準(zhǔn)確率還是連50%都不到，學(xué)生能設(shè)錯，而且設(shè)錯有必要性。

3.4　錯題的賞析

賞錯是對錯題的重新審視，讓學(xué)生明白，錯題并非是可怕的，錯題并非是可惡的，相反，錯題能帶給我們知識的提升，錯題能像小說一樣讓我們看得津津有味，讓學(xué)生喜歡錯題，愛上錯題。因為錯題，才有進步，因為錯題，學(xué)習(xí)才完整。

賞錯的主要類型，教師可以從低級錯題，典型錯題，常見錯題，特殊錯題等，通過實物、圖片、課件、多媒體等展示，也可以大量錯題裝訂成冊，在班級中進行傳閱。

(1)賞低級錯題。低級錯題顧明思議，是指不應(yīng)該犯的錯題，這些錯題往往是忙中出錯，或者平時行為習(xí)慣不好導(dǎo)致的，多發(fā)生于解題習(xí)慣不好的學(xué)生中。例如：選擇題答案抄錯，題序號抄錯，后半小題忘記做了，答案忘記抄到答題卷等等。欣賞中認(rèn)識和體會自己平時存在的不足。

(2)賞典型錯題。典型錯題是指絕大部分同學(xué)都會犯的錯題，也是考試最喜歡考的一類題，作為這一錯題，教師在展示時應(yīng)該作為重點，其邊上的注解應(yīng)該詳細(xì)說明錯題原因。具體可以以運算類典例，函數(shù)類典例，幾何類典例。例如學(xué)生在有理數(shù)運算時，對于分配律的去括號時，負(fù)號容易漏乘。學(xué)等腰三角形時，分類的情況經(jīng)常容易忽視等。

(3)賞常見錯題：常見錯題往往是學(xué)生一開始概念計算等不熟導(dǎo)致的，隨著知識的積累有些錯題能自動的糾正，對于這類錯題教師需要深度挖掘，甚至需要一定的變式去考驗學(xué)生是否真正已經(jīng)弄懂了。這類錯題是平時學(xué)生、教師見的最多的一類錯題，通過這些錯題的欣賞，讓學(xué)生能真正認(rèn)識平時自己的真實狀況。

(4)賞中考錯題。這是學(xué)生比較感興趣的一類錯題，學(xué)生很想看到中考中的題目是如何的設(shè)錯的，而學(xué)生又是如何陷進去的。例如：（2014）點A,B,C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點H，若BH=，則∠ABC所對的弧長等于（少情況）。

從節(jié)約時間的角度出發(fā)，對于錯題的原題可以借用數(shù)碼設(shè)備，以圖片的形式保存于電腦之中，初中階段的錯題還可以有電子版，便于攜帶方便閱讀。同時也可以把自己的錯題以微信、QQ的形式上傳到網(wǎng)絡(luò)，使自己的伙伴也能有一定的了解。錯題變例題，讓學(xué)生在欣賞錯題中學(xué)會方法，融會貫通。

4　反思與展望

對錯題這一存在的、缺失管理的教學(xué)資源進行科學(xué)的整合、指導(dǎo)，讓錯題成為教師、學(xué)生熱衷的、喜愛的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)因錯題而精彩，因錯題而完美。

糾正錯題則使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想得到不斷提升，通過糾錯題→究方法→糾習(xí)慣的全面而科學(xué)的三糾方法，使學(xué)生成為真正的受益者。學(xué)生通過糾正一個錯題，消滅一類錯題；糾正一個錯題，知道一種方法；糾正一個錯題，養(yǎng)成一種習(xí)慣。

利用錯題以找、辯、評、變?yōu)槭侄畏椒ǎ义e警己，辨錯悟正，評錯拓思，變錯貫通，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和悟錯能力得到了有效提升，對于學(xué)生自己以后犯同錯的可能性大大降低，通過對以他人之錯，可能之錯的找辯評變，學(xué)生的知識點和解題方法同樣會受益匪淺。

在整錯和糾錯過程中，學(xué)生對于錯題的性質(zhì)缺乏自我判斷能力，進而影響整錯的條理性和針對性，對隱藏在錯題背后的習(xí)慣、能力等需要教師的參與和點撥。同時如何讓互聯(lián)網(wǎng)在錯題運作的過程中發(fā)揮更加強大的功能需要進一步的探索和研究。

[1]王維林.數(shù)學(xué)錯題及錯解題的教學(xué)價值[J].教學(xué)與管理,2009(16)：48-50.

[2]王芳.高中數(shù)學(xué)錯題訂正與收集的研究[D].上海師范大學(xué)，2012.

[3]徐燕.高中數(shù)學(xué)錯題訂正現(xiàn)狀及對策研究[D].四川師范大學(xué),2017.