讓算術(shù)更容易

劉鋼

人類(lèi)自古以來(lái)就不斷發(fā)明和改進(jìn)計(jì)算工具，從古老的“結(jié)繩記事”，到算盤(pán)、計(jì)算尺、差分機(jī)，再到電子計(jì)算機(jī)的誕生，計(jì)算工具經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)、從手動(dòng)到自動(dòng)、從自動(dòng)到電子的發(fā)展過(guò)程。

最原始的人造計(jì)算工具是算籌。算籌最早出現(xiàn)在何時(shí)，現(xiàn)已無(wú)法考證，但在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，算籌的使用就已非常普遍了。根據(jù)史書(shū)的記載，算籌是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的。它采用十進(jìn)制記數(shù)法，有縱式和橫式兩種擺法，這兩種擺法都可以表示1至9九個(gè)數(shù)字（數(shù)字0用空位表示）。算籌的記數(shù)方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式……這樣從右到左、縱橫相間，就可以表示任意大的自然數(shù)了。

計(jì)算工具發(fā)展史上的第一次重大改革是算盤(pán)的出現(xiàn)，它也是我國(guó)先民首先創(chuàng)造和使用的。算盤(pán)由算籌演變而來(lái)，并和算籌并存了一段時(shí)期，最終在元代后期取代了算籌。算盤(pán)輕巧靈活、攜帶方便，應(yīng)用極其廣泛，先后流傳到日本、朝鮮等國(guó)家，后來(lái)又傳入西方。

算盤(pán)采用十進(jìn)制記數(shù)法并有一整套計(jì)算口訣，例如“三下五除二”“七上八下”等，這是最早的體系化算法。

算盤(pán)能進(jìn)行基本的算術(shù)運(yùn)算，是公認(rèn)的最早的計(jì)算工具。

17世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)了利用齒輪技術(shù)設(shè)計(jì)出的計(jì)算工具。1642年，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)明了帕斯卡加法器，這是人類(lèi)歷史上第一臺(tái)機(jī)械式計(jì)算工具，其原理對(duì)后來(lái)的計(jì)算工具產(chǎn)生了持久的影響。它是由齒輪組成、以發(fā)條為動(dòng)力、通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)齒輪來(lái)實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算、用連桿實(shí)現(xiàn)進(jìn)位的計(jì)算裝置。

帕斯卡在制作加法器的過(guò)程中得出結(jié)論：人的某些思維過(guò)程與機(jī)械過(guò)程沒(méi)有差別，因此可以設(shè)想用機(jī)械模擬人的思維活動(dòng)。

德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨因發(fā)現(xiàn)帕斯卡一篇關(guān)于“帕斯卡加法器”的論文，產(chǎn)生了強(qiáng)烈的發(fā)明欲望，決心把這種機(jī)器的功能擴(kuò)大為乘除運(yùn)算。

1673年，萊布尼茨研制了一臺(tái)能進(jìn)行四則運(yùn)算的機(jī)械式計(jì)數(shù)器，這臺(tái)機(jī)器在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)采用進(jìn)位加，即步進(jìn)的方法，后來(lái)演化為二進(jìn)制，被現(xiàn)代計(jì)算機(jī)采用。

在萊布尼茨發(fā)明步進(jìn)計(jì)數(shù)器之后的一百多年中，雖有不少類(lèi)似的計(jì)算工具出現(xiàn)，但除了在靈活性上有所改進(jìn)外，都沒(méi)有突破手動(dòng)機(jī)械的框架，這種用齒輪、連桿組裝起來(lái)的計(jì)算設(shè)備限制了其自身的功能、速度以及可靠性。

1886年，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家何樂(lè)禮借鑒雅各織布機(jī)的穿孔卡原理，用穿孔卡片存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，采用機(jī)電技術(shù)取代純機(jī)械裝置，制造了第一臺(tái)可以自動(dòng)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算、累計(jì)存檔、制作報(bào)表的制表機(jī)。這臺(tái)制表機(jī)參與了美國(guó)1890年的人口普查工作，使預(yù)計(jì)10年的統(tǒng)計(jì)工作僅用1年零7個(gè)月就完成了。這是人類(lèi)歷史上第一次利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大規(guī)模的數(shù)據(jù)處理。何樂(lè)禮于1896年創(chuàng)建了制表機(jī)公司，并于1924年后將其改名為國(guó)際商業(yè)機(jī)器公司，這就是赫赫有名的IBM（International Business Machines Corporation）公司。

后來(lái)，美國(guó)哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授艾肯在IBM公司的資助下，于1944年成功研制了機(jī)電式計(jì)算機(jī)Mark-I。Mark-I長(zhǎng)15.5米，高2.4米，由75萬(wàn)個(gè)零部件組成，使用了大量的繼電器作為開(kāi)關(guān)元件。它的計(jì)算速度很慢，執(zhí)行一次加法操作需要0.3秒，且噪聲很大。

艾肯等人制造的機(jī)電式計(jì)算機(jī)的典型部件是普通的繼電器，由于繼電器的開(kāi)關(guān)速度是0.01秒，使得機(jī)電式計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度受到限制。

1939年，美國(guó)愛(ài)荷華州立大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)教授阿塔納索夫和他的研究生貝利共同研制了一臺(tái)名為ABC（Atanasoff-Berry Computer）的電子計(jì)算機(jī)。由于經(jīng)費(fèi)有限，他們只研制了一個(gè)求解包含30個(gè)未知數(shù)的線性代數(shù)方程組的樣機(jī)。在阿塔納索夫的設(shè)計(jì)方案中，第一次提出利用電子技術(shù)提高計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度。

第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)物理學(xué)教授莫克利和他的研究生埃克特受軍械部的委托，為計(jì)算彈道和射擊表啟動(dòng)了研制ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）的計(jì)劃，這臺(tái)機(jī)器被后人譽(yù)為“標(biāo)志人類(lèi)計(jì)算工具歷史性變革的巨型機(jī)器”。

之后，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授馮·諾依曼發(fā)表了《離散變量自動(dòng)電子計(jì)算機(jī)》（EDVAC，Electronic Discrete Variable Computer）方案，確立了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基本結(jié)構(gòu)，提出計(jì)算機(jī)應(yīng)具有運(yùn)算器、控制器、存儲(chǔ)器、輸入設(shè)備和輸出設(shè)備等五個(gè)基本組成部分，并提出“采用二進(jìn)制”和“存儲(chǔ)程序”這兩個(gè)重要的基本思想。馮·諾依曼的偉大功績(jī)?cè)谟谒\(yùn)用雄厚的數(shù)理知識(shí)和非凡的分析、綜合能力，在EDVAC的總體配置和邏輯設(shè)計(jì)中起到了關(guān)鍵的作用。

總之，ABC電子計(jì)算機(jī)正好處于模擬計(jì)算與數(shù)字計(jì)算的門(mén)檻上，而ENIAC的問(wèn)世則讓計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，最終馮·諾依曼吸取了圖靈機(jī)的理論成果開(kāi)發(fā)出馮·諾依曼架構(gòu)。從此，數(shù)字計(jì)算機(jī)的整體架構(gòu)得以確立。