平面向量唯一分解途徑

【內容摘要】平面中任一向量可用任意兩個不共線向量來線性表示，但中間過程有時僅通過平行四邊形法則和三角形法則很難達到目標。應用平面向量非坐標系下定比分點公式、坐標法、向量內積法等方法來處理平面向量唯一分解可事半功輩。

【關鍵詞】平面向量基本定理 定比分點公式法 坐標法 內積法

作為一種數學工具，在中學數學中向量的優勢更多在體現在溝通幾何與代數，并將幾何及其它的一些問題通過代數運算來研究，這樣的一個思辨的過程變為了一種程序化的操作過程。向量的基本定理實際上是建立向量坐標的一個邏輯基礎，它是前面向量運算的延伸，又是后面平面向量坐標表示的基礎，它是搭建向量幾何運算和代數運算的橋梁，在向量知識體系中處于核心地位。

平面向量基本定理告訴我們：平面上的任一向量可以由這個平面內的任意兩個不共線的向量表示。也就是說，平面上的任意兩個不共線的向量都可以表示這個平面上的任意向量。平面向量坐標的實質是將平面向量分解到分別與x軸、y軸正向同向兩單位向量，但其中過程是學生學習難點，有時僅通過平行四邊行法則和三角形法則無法輕易達到目標，這里介紹定比分點公式法、坐標法和向量內積法三種方法，來處理平面向量的唯一分解。

一、非坐標系下定比分點公式法

向量的定比分點公式在我們印象中僅是坐標形式，其實在一般非坐標系下一樣可利用它來處理向量唯一分解問題：設P分有向線段 所成的比為λ，即 ，若O為平面內的任一點（O點未必是原點），則：

稱為定比分點公式的向量形式。應用定比分點公式向量形式可以簡化直接得出向量的唯一分解形式。

【例1】如圖，在△ABC中∠B ＝ ，∠C＝ ，∠A的平分線交BC 于點D，設 ，則

______。

分析：常規解法是根據角平分線性質先計算出 ，再由三角形法則 可以計算出λ、μ，過程這里省略，只介紹非坐標系下定比分點公式法。

解：由內角平分線性質得

即

大家可以應用此法來證明內角平分線定理。

二、坐標法

平面向量唯一分解問題若從幾何角度很難找到線性關系，可以先建立直角坐標系，將一般分解轉化為直角坐標系下的正交分解。引入坐標系后，結合三角函數知識，找到點的坐標，再通過向量坐標運算可輕易找到向量之間的線性關系。這種方法可以說是向量分解的通法，是萬能法。方法關鍵是在坐標系中找點的坐標。

【例2】如下圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，求

的值。

解法一：根據向量的加減法法則有：

此時

解法二：坐標法

以AC所在直線為了x軸，A為原點建立直角坐標系，如圖：

則A（0，0），B（2cos120°，2sin120°）即 ， ，

。

三、內積法

有時平面向量唯一分解從幾何上有困難時，可考慮從代數角度入手，設 ，運算

的內積，結合方程思想，通過方程組解出λ、μ的值，從而達到向量唯一分解目標。

【例3】在鈍角△ABC中，AC=2，AB=1，其面積為 ，O是△ABC的外心，設

，求s，t的值。

內積法：由三角形面積：

得

∴A=60°或A=120°

但當A=60°時，BC= ，△ABC為直角三角形（舍去）

當A=120°時，BC=

此時△ABC外接圓的半徑

由余弦定理知，

又 ，兩邊同時分別點乘 有：

為所求。

學生若能突破平面向量的唯一分解，向量這個工具才能發揮其最大功效。還記得一個調研試題：

在△ABC中， ，

BC=2，O為△ABC的外心，

若

求m，n值。當時學生普遍得分率極低，明明一個很簡單問題而失分就是因為用常規解法分解向量難度很大，根本聯系不到用坐標法或內積法來處理向量的唯一分解，了解了以上這三種方法之后相信此題不再是難題，大家可以不妨一試。

（作者單位：江西省南昌市第二中學）