以阿波羅尼斯圓為背景的考題研究與欣賞

周建

【摘要】 近年來，高考考題中對于書本知識的考查愈加重視，來源于書本，但又高于書本的題型層出不窮，一來符合課改的思想，二來也是回歸書本，回歸數學本質的需要，同時，也是考查學生發散性思維和扎實基本功的重要手段，本文從一個高考題入手，與讀者探討阿波羅尼斯圓在高考模考中的應用與變化.

【關鍵詞】 高考；阿波羅尼斯圓；定值

真題再現 （2008年江蘇，13）若AB=2，AC= 2 BC，則S△ABC的最大值 .

解法一 利用余弦定理和函數的最值問題處理.

設AC= 2 BC= 2 x.

cosC= 3x2-4 2 2 x2 sinC= -x4+24x2-16 2 2 x2 .

S= 1 2 absinC= -x4+24x2-16 4 ，

∴當x2=12時，Smax=2 2 .

很多考生在解答時，基本上用了此解法，雖入手簡單，但計算量比較大，得分率不高.筆者在研究后發現，此題為課本習題的一個演化和提升.

教材原題 （人教A版必修2第124頁B組習題3）已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為 1 2 ，求點M的軌跡，并求出它的方程.

易得M的軌跡為以（1，0）為圓心，1為半徑的圓.而在教材第144頁B組練習中，編寫者又將此結論進一步推廣到比值為m的討論，引導學生們發現，當m≠1時，動點軌跡即為圓.

結論 平面內一動點到兩定點的距離之比為非1的常數，動點的軌跡為圓，即阿波羅尼斯圓.

證明 若兩定點之間距離為2a，距離之比為m，（m>0，m≠1），以兩定點所在直線為x軸，中垂線為y軸，建立坐標系，可得方程為 x- m2+1 m2-1 ·a 2+y2= m m2-1 ·2a 2.

從而引出解法二：

解法二 以AB中點為原點，AB所在直線為x軸，建立坐標系.A（-1，0），B（1，0），設C（x，y）.

由題意可得 （x+1）2+y2 = 2 （x-1）2+y2 ，

化簡可得（x-3）2+y2=8，∴Smax=2 2 .

雖然書本未有直接給出阿波羅尼斯圓的定義，但是這個重要結論卻備受高考命題者的青睞，樂此不疲，多次出現在各省高考題、各地模擬題中，下面筆者就簡單加以舉例說明.

一、圍繞定義，直接考查

例1 （2006年四川）已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為（ ）

A.π

B.4π

C.8π

D.9π

解答 若使用阿波羅尼斯圓定義加以研究，即可知P的軌跡為圓，計算可知圓方程為（x-2）2+y2=4，故答案為B.

例2 （2008年四川）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|= 2 |AF|，則△AFK的面積為（ ）

A.4 B.8 C.16 D.32

解答 如圖，由條件可知|KF|=4為定值，且|AK|= 2 |AF|，故由阿波羅尼斯圓的定義可知，A為圓方程和拋物線的交點.圓方程為（x-6）2+y2=32，

故 （x-6）2+y2=32，y2=8x， ∴A（2，4），S= 1 2 ×4×4=8.

二、隱含條件，學會挖掘

例3 梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α， AB=2BC=2CD=4，點P為α內一動點，且∠APB=∠DPC，點P的軌跡為（ ）

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線

解答 因AB∥CD，且AB⊥平面α，所以CD⊥平面α，可得∠ABP=∠DCP=90°，又因∠APB=∠DPC，故△APB與△DPC相似，得 BP PC = AB DC =2，故由阿波羅尼斯圓定義可知，P的軌跡為圓，答案選B.

點評 此題以立體幾何為背景，考查解析幾何問題，將阿波羅尼斯圓的定比關系隱含在三角形相似中，比較隱蔽，對學生考查要求較高.

例4 （2011年江西模擬）在等腰△ABC中，AB=AC，BD是腰AC的中線，且BD= 3 ，則△ABC面積的最大值為 .

解答 建立如右圖坐標系，從條件可知， AB AD =2且BD= 3 ，所以A的軌跡為圓，解法與文章開始的四川高考題一致.

點評 此題的關鍵在于應用合理的建系，發現 AB AD =2為定值，從而加快解題速度，提高解題正確率.

三、定義逆用，靈活應用

例5 （2012年遼寧省五校協作題高二競賽試題）已知圓C：x2+y2=9，點A（-5，0），若在直線OA上（O為坐標原點），存在定點B（不同于A），滿足：對于圓C上任一點P，都有 |PB| |PA| 為一常數，試求所有滿足條件的定點B的坐標.

解答 由題意可知，P的軌跡即為阿波羅尼斯圓，所以可以對照阿波羅尼斯圓的推導思路進行解答.

例6 （2012年高中數學聯賽福建預賽高一試題）已知圓C：（x-2）2+（y-2）2=m，點A（4，6），B（s，t），若s，t為正整數，且圓C上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值λ（λ>1），求m的值.

解答 此題也是阿波羅尼斯圓的定義和性質的直接利用，讀者采取阿波羅尼斯圓的推導思路同樣可以方便地加以解決.

可見，阿波羅尼斯圓雖未在課本中以正式定義給出，但在課本中以習題的形式不止一次出現，同樣也不止一次在高考模擬考中以多種形式不斷出現，其地位可見一斑，但只要了解其定義和性質，解答這些題就變得輕松了.