簡解北京初中數學競賽題

王勇紅

題目 關于m，n的方程5m2-6mn+7n2=2 011是否存在整數解？若存在，請寫出一組解；若不存在，請說明理由.

這是2011年北京市中學生數學競賽（初二）試卷的第四大題，筆者在閱讀文[1]時發現它的分析和解法都過于復雜，讓人們感覺該題很難，其實該題并不難解，可以直接用整數的奇偶性來解答.

解 因為2 011是奇數，故m，n不能同奇偶.

（1）當m=2k，n=2s+1時（k，s為整數），

則5m2-6mn+7n2=2011k（5k-3）+7s（s+1）-6ks=501.

不論k，s的奇、偶性如何，k（5k-3）+7s（s+1）-6ks都是偶數，故無整數解.

（2）當m=2k+1，n=2s時（k，s為整數），

則5m2-6mn+7n2=2 01110k2+10k-6s+14s2-12sk=1 003，

10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶數，故也無整數解.

故方程不存在整數解.