高觀點下的二階線性遞歸數列通項公式求法初探

冶亞茹

【摘要】 遞推公式是認識數列的一種重要形式，是給出數列的基本方式之一.根據遞推公式求數列的通項公式是高考考查的一個重點內容，而二階線性遞歸數列求通項公式更是一個難點.本文從線性代數和數學分析的角度審視這個問題，分別用特征方程法和母函數方法對此問題進行求解.

【關鍵詞】 二階線性遞歸數列；特征方程法；母函數方法

一、二階線性遞歸數列

定義1 若數列{an}滿足遞歸方程

an+2=p1an+1+p2an，n∈ N +， （1）

（其中p1，p2是常數，p2≠0），則稱{an}為二階線性（齊次）遞歸數列.當已知它的第一項a1與第二項a2時，可以求出它的通項公式.

二、特征方程法

定義2 記x2=p1x+p2為（1）式的特征方程，它的根稱為特征值.

對于形如（1）式的遞歸數列，用特征方程法求通項公式步驟如下：

①寫出特征方程并求出對應方程的根；

②若對應方程有兩個不同實根或共軛復根x1，x2，則{an}通項公式為an=c1xn1+c2xn2，其中c1，c2由初始值a0，a1來唯一確定，即由方程組

c1+c2=a0，c1x1+c2x2=a1 確定；

③當特征方程有二重根x時，{an}通項公式為an=（c1+nc2）xn，其中c1，c2同樣由初始值a1，a2來唯一確定.

三、母函數方法

定義3 任給一個無窮數列{an}，相應地構造一個形式冪級數

f（x）=∑∞n=0anxn， （2）

則稱f（x）為數列{an}的母函數（這里把數列的母函數形式上看作是冪級數，也就是我們的討論不涉及冪級數的收斂性）.

對于形如（1）式的遞歸數列，用母函數法求通項公式步驟如下：

①構造數列{an}的母函數f（x）；

②分別用-p1x，-p2x2乘母函數兩端得到如下兩式：

將（2）（3）（4）合并整理，得到一個關于f（x）的分式方程；

③將所得分式方程重新展開表示為形式冪級數，再整理變形，其中xn的系數便是所要求的數列通項an.

四、實例應用

在中學數學里，二階線性遞歸數列的通項公式主要是通過待定系數法來構造一個新的數列，運算過程復雜且需要一定的技巧性才能最終求得通項公式.而特征方程法和母函數方法使得此問題的求解程序化.實質上，母函數在處理數列、排列、組合、概率等問題中也有著廣泛的應用，不僅如此，其他高等數學類課程，如幾何學、近世代數、概率統計等對于中學數學教學工作所發揮的作用也是十分明顯的.因此，在以后的教學工作中，應關注高等數學與中學數學的“下靠”與“上聯”問題，居“高等數學之高”去臨“中學數學之下”，切實提高教學研究水平.

【參考文獻】

[1]李三平.高觀點下的中學數學[M].西安：陜西師范大學出版社，2013.

[2]胡炳生，吳俊，王佩瑾，孫國漢.現代數學觀下的中學數學[M].北京：高等教育出版社，1999.