巧利用均值不等式求最值

劉鑫迪

利用均值不等式求最值是歷年高考的熱點內容之一.均值不等式成立的條件可概括為“一正、二定、三相等”.當這些條件不完全具備時，需要通過巧妙變換，湊成“定和”或“定積”，從而使其具備相應的條件.下面談談常見的湊“定和”或“定積”的技巧，與大家共勉.

技巧一：直接利用基本不等式求最值

例1 （2014·山東理）若 ax6+ b x 4的展開式中x3項的系數為20，則a2+b2的最小值為 .

解 將 ax2+ b x 6展開，得到Tr+1=Cr6a6-rbrx12-3r，令12-3r=3，得r=3.

由C36a3b3=20，得ab=1，所以a2+b2≥2ab=2.

技巧二：湊項法（和為定值或積為定值）

例2 已知x>0，y>0，且滿足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

解 x，y>0，lgx+lgy=lg（xy）=lg 3x·2y 6 ≤lg 1 6 · 3x+2y 2 2 =lg 1 6 · 12 2 2 =lg6，

當且僅當3x=2y，即x=2，y=3時，等號成立.

所以lgx+lgy的最大值是lg6.

例3 （2016·山東理稍作變動）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）= tanA cosB + tanB cosA ，且a+b=2c.求cosC的最小值.

解 由a+b=2c得c= a+b 2 ，所以cosC= a2+b2-c2 2ab = a2+b2- a+b 2 2 2ab = 3 8 a b + b a - 1 4 ≥ 3 8 ×2- 1 4 = 1 2 ，

當且僅當a=b時，等號成立.故cosC的最小值為 1 2 .

技巧三：巧用“1”代換

例4 （2015·福建文）若直線 x a + y b =1（a>0，b>0）過點（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

解 由題知 1 a + 1 b =1（a>0，b>0），

∴a+b= 1 a + 1 b （a+b）=2+ b a + a b ≥2+2 b a · a b =4，當且僅當 b a = a b ，即a=b=2時取等號，

∴a+b最小值是4，故選C.

技巧四：利用函數單調性求最值

例5 求函數y= x2+5 x2+4 的值域.

解 令 x2+4 =t（t≥2），則y= x2+5 x2+4 = x2+4 + 1 x2+4 =t+ 1 t （t≥2）.

因為y=t+ 1 t 在區間[1，+∞）單調遞增，所以在其子區間[2，+∞）為單調遞增函數，故y≥ 5 2 .

所以，所求函數的值域為 5 2 ，+∞ .

技巧五：放縮后再解不等式

例6 已知a，b為正實數，2b+ab+a=30，求函數y= 1 ab 的最小值.

解 由已知得30-ab=a+2b.

∵a+2b≥2 2ab ，∴30-ab≥2 2ab .

令u= ab ，則u2+2 2 u-30≤0，-5 2 ≤u≤3 2 ，

∴ ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥ 1 18 .

技巧六：換元法

例7 求函數y= x+2 2x+5 的最大值.

解 令 x+2 =t，t≥0，x=t2-2，則y= t 2t2+1 （t≥0），當t=0時，y=0；

當t>0時，y= 1 2t+ 1 t ≤ 1 2 2t· 1 t = 2 4 ，

當且僅當2t= 1 t ，即t= 2 2 時，取等號.

所以x=- 3 2 時，y取最大值為 2 4 .

技巧七：反復利用均值不等式

例8 （2016·江蘇理節選）已知函數f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.設a=2，b= 1 2 .若對于任意x∈ R ，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實數m的最大值.

解 由題意得22x+ 1 22x ≥m 2x+ 1 2x -6恒成立，

令t=2x+ 1 2x ，則由2x>0，可得t≥2 2x× 1 2x =2，

此時t2-2≥mt-6恒成立，即m≤ t2+4 t =t+ 4 t 恒成立.

∵t≥2時，t+ 4 t ≥2 t· 4 t =4，當且僅當t=2時等號成立，

因此，實數m的最大值為4.

總之，利用均值不等式求最值的方法多樣，而且變化多端，只有掌握常見的變形技巧與常見題型的求解方法，并且加強訓練、多思考，才能達到熟能生巧.