一題三法擊破“定直線”

徐娜

【摘要】 “定直線”問題屬于高考的一類熱點問題，近些年有綜合發展趨勢，筆者就一道優質試題為例探討它的基本求解策略.

【關鍵詞】 一題三法；定直線；高考

例 當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C： x2 4 + y2 2 =1相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，證明：點Q總在某定直線上.

分析 設法將“某定直線”明確即可，可從主條件“|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|”入手，轉化為向量形式，分解向量將其坐標化.

證明 法1：設點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由題設知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記λ= |AP | |PB | = |AQ | |QB | ，則λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四點共線，從而引入向量，有AP =-λPB ，AQ =λQB ，

∴4= x1-λx2 1-λ ，1= y1-λy2 1-λ ，

x= x1+λx2 1+λ ，y= y1+λy2 1+λ ， （）

∴ x21-λ2x22 1-λ2 =4x， （1）

y21-λ2y22 1-λ2 =y. （2）

∵點A，B在橢圓C上，

∴x21+2y21=4， （3）

x22+2y22=4. （4）

由（1）+（2）×2并結合（3）（4）得

4x+2y= （x21+2y21）-λ2（x22+2y22） 1-λ2 =4，

∴點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上.

在（）的四個等式中，沒法將所設參數“一一解出”，對這4個式子如何變形很重要，考慮要利用（3）（4）式，可以嘗試將（）中的第一和第三式相乘，變成“平方”形式，同理，將第二和第四式相乘，得到的（1）（2）式只有平方項，沒有交叉項（即xy項），類似這樣的處理，可以較為容易地利用已知條件來消參，上述解法中，是用了設參消參的策略，就一般情況求得定直線方程，其實動點Q的軌跡就是這條直線在橢圓內的那部分（線段）.

若從運動變化的觀點來思考，可有如下解法：

法2：過點P（4，1）作橢圓的兩條切線，設切點分別為C，D，則切點弦的直線方程為 4·x 4 + 1·y 2 =1，即2x+y-2=0，轉動直線lAB，當lAB與橢圓相切時，此時A，Q，B三點重合于切點C（或D），仍然滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，于是猜想：點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上.

這里再給出一種方法.

法3：設直線AB的方程為y-1=k（x-4），將其代入 x2 4 + y2 2 =1，可得

（1+2k2）x2-（16k2-4k）x+32k2-16k-2=0.

∵|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，

∴ AP PB = AQ QB ，

∴ 4-x1 4-x2 = x-x1 x2-x .

即8x+2x1x2-（x1+x2）（x+4）=0.

由韋達定理可得

x1+x2= 16k2-4k 1+2k2 ，x1x2= 32k2-16k-2 1+2k2 ，

代入上式可得x= 4k+1 2+k .

將x= 4k+1 2+k 代入y-1=k（x-4），得y= -6k+2 2+k ，

∴ x= 4k+1 2+k ，y= -6k+2 2+k ， 消去參數k可得2x+y-2=0，

體會這三種解法，發現本題其實還可以做進一步的推廣：

設點P（x0，y0）是橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a，b>0，a≠b）外一點，過點P的動直線與橢圓C相交于兩個不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，則點Q總在定直線 x0x a2 + y0y b2 =1上.

通過對本題的探究，我們發現解決“定直線”問題的求解策略是：通過設方程最終將變量置于一個或幾個（盡量少）方程（或等式）中，或直接消去參變量而獲解，或通過參變量的巧妙組合觀察得到，或分析結構特征轉化求解，總之，解決這類問題時需要在變中尋找不變.

【參考文獻】

[1]曹亦祥.幾何復習教學中不要忽視“模型”的提煉——一道高失分率題引起的思考[J].中學數學月刊，2015（09）：25-27.

[2]張寶娣.利用點坐標確定平面直角坐標系方法探析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015（07）：33.