高中函數中的奇偶性和對稱性分析

帥敏

【摘要】 函數在數學學習中是很重要的一部分內容，在實際生活中也有著廣泛的應用.因為函數可以考查的知識點有很多，所以在學習函數的知識點時要尋找合適的學習方法.本文的寫作目的就是分析高中函數中的奇偶性和對稱性.

【關鍵詞】 高中函數；奇偶性；對稱性

在函數學習中題型變化多樣，還會經常結合其他的知識點，所以，學習難度很大.尤其是函數的奇偶性和對稱性，應用十分廣泛，本文通過一些例題，探討函數的奇偶性和對稱性以及它們之間的關系.

一、函數的奇偶性和對稱性的含義

（一）函數的奇偶性

一般的，對于函數f（x）：如果在函數定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么我們就稱這樣的函數f（x）為奇函數.[1]相對應的，如果在函數定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這樣的函數f（x）就叫作偶函數.特殊的，如果一個函數f（x）同時滿足f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x），那么就稱這個函數既是奇函數又是偶函數.判斷函數奇偶性的時候要注意定義域對稱.

（二）函數的對稱性

一些特殊函數的圖像擁有對稱的性質.一般對稱的情況有兩種，一種是軸對稱，另一種是中心對稱.如果某個函數的圖像沿著一條直線對折，在這條直線兩側的圖像能夠完全重合，說明該函數的圖像關于這條直線成軸對稱.[2]如果某個函數的圖像圍繞某一點旋轉180°之后的圖像與原圖像完全重合，那么就說這個函數圖像關于該點呈中心對稱.

二、以題目為例分析奇偶性和對稱性的關系

（一）例題1（2014年江西文科16題）

已知函數f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數，且f π 4 =0，其中a∈ R ，θ∈（0，π）.求a，θ的值.

解析 ∵且f π 4 =0，所以將x= π 4 代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式

（a+1）cos π 2 +θ =（a+1）sinθ=0，

又∵θ∈（0，π），∴sinθ≠0，∴a+1=0，a=-1.

∵f（x）為奇函數，∴f（0）=0.

將x=0代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式（a+2）cosθ=0，

又∵a=-1不等于0，∴cosθ=0，

∵θ∈（0，π），∴θ= π 2 .

從這一個題目中可以看出，一定要熟練掌握函數奇偶性的特點，這樣在題目中才能熟練地應用.比如，f（x）=-f（-x），f（0）=0，如果f（x）是奇函數，點M的坐標為（x，y），那么點M關于原點對稱點的坐標為（-x，-y）等等.

（二）例題2（改編題）

函數y=f（x）在（0，2）上是增函數，函數y=f（x+2）是偶函數，把f（1），f 5 2 ，f 7 2 用“<”連接起來 .

解析 ∵函數y=f（x+2）是偶函數，

∴f（2+x）=f（2-x），f（x）的圖像關于直線x=2對稱.

∵在（0，2）區間內單調遞增，∴在（2，4）區間內單調遞減，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3）.

又∵f（x）在（2，4）區間內單調遞減，

所以f 7 2

這道例題將函數的單調性、奇偶性、函數圖像、函數的對稱性結合在一起.已知條件中的函數y=f（x+2）是偶函數，所以f（x）=f（-x），代入可得f（2+x）=f（2-x）.通過這一等式可以看出該函數關于直線對稱，對稱軸的求法為[（2+x）+（2-x）]÷2=2，所以對稱軸為x=2.因為函數f（2+x）是偶函數，所以在對稱軸的兩側單調性相反，在（0，2）區間內單調遞增，所以在區間（2，4）內單調遞減.還是因為y=f（x+2）是偶函數，f（2+x）=f（2-x），所以將x=1代入式子中，得到f（1）=f（3）.因為函數在（2，4）區間內單調遞減，所以f 7 2

（三）例題3（2015年全國卷Ⅰ12題改編）

f（x）=2x+a關于y=-x對稱，且f（-2）+f（-4）=1，求a的值.

解析 P（x，y）在f（x）上，則P′（-y，-x）也在f（x）上.

設f（-2）=y1，f（-4）=y2，則

2-y1+a=22-y2+a=4，

∴ -y1+a=1，-y2+a=2.

又∵y1+y2=1，∴-（y1+y2）+2a=3，即a=2.

圖像對稱，一般抓住點對稱找突破口，將反比例函數與原函數圖像對稱，化解這個難點.

三、結束語

通過例題可以看出，一般來說函數的奇偶性和對稱性是解出函數題目的關鍵所在，很多函數題目中只要充分利用好奇偶性和對稱性以及它們之間的關系，那么再去解答題目則會變得相對容易很多了.對于題目中給出的條件要正確地運用，同時涉及對稱性的題目可以畫出函數圖像，這樣涉及對稱點的位置和對稱點的坐標情況就顯得一目了然了.應用函數奇偶性和對稱性的一些特點，以及他們的關系，能夠在解決函數問題時更加容易，更有效率.學好函數的奇偶性和對稱性有利于學生更好地解答相關函數題目，從而學好函數，學好數學.

【參考文獻】

[1]彭家盛.《中職數學中“指數函數與對數函數”章節的有效性教學》[J].科教文匯：下旬刊，2012（21）：99-100.

[2]劉偉佳.《關于函數奇偶性的一點注記——兼對一道習題的建議》[J].數學教學通訊，2013（05）：39.