“在直角三角板中按比例求邊”的課例賞析

董蓉艷　楊新鵬

初三學生在學習解三角形時，往往會出現記憶特殊銳角三角函數值出錯或計算速度慢等問題，到了高中學習三角函數依然會有類似的問題.在國培期間，有幸觀摩了云南省宜良縣初中數學首席專家李春紅老師的示范課“在直角三角板中按比例求邊”，利用小學的比例及除法的意義，打通了特殊三角函數值的記憶和運用的通道，為后續學習打下堅實的基礎.通過教學錄像，記錄了該課的教學流程，并給出個人的解讀.

一、“在直角三角板中按比例求邊”的教學流程

（一）建立小組

師：同學們，我家鄰居有個小孩，特別喜歡學習，小伙伴們給他起了個名字，叫作“七天大剩”.意思是他一個星期七天都在看書、天天都在看書、大部分時間都在看書、剩余的時間也在看書.教師希望大家能像他學習，所以把你們分成四個小組，“七組”“天組”“大組”“剩組”.請各小組完成學案的1、2題，完成的小組將得到基礎分80分.

（二）解題競賽引入課題

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，則AB= ，BC= .

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=6，則AC= ，BC= .

師：同學們完成得很好，每一組都得80分，但是用的方法都是勾股定理，計算比較麻煩，今天學習另外一種方法.請同學們回憶，勾股定理的復習課上有一個題目：已知一個三角形三邊比為1 ∶ 3 ∶ 2，問是什么三角形？后來發現它其實是有一個角30°的直角三角形.那么，有一個角是45°的三角板各邊之比為多少？

生：1 ∶ 1 ∶ 2 .

師：請同學們將比值與邊對應起來.

生：沉默.

師：提示，大角對大邊，小角對小邊；角相等，所對邊相等.

我們一般用圈表示他的份數，區別于它的長度.

請學生們驗證：三邊長之比為2 3 ∶ 6 ∶ 4 3 和3 2 ∶ 3 2 ∶ 6的三角形是否為直角三角形？

生：是.

例1 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，則AB= ，BC= .

師：有一個角為30°，先標出每邊所占的分數，AC=6，6為長度， 3 為所占的份數，則可以得到什么結果呢？

生：算出每一份所占的長度.

師：那么AB和BC的長度如何求？

生：AB= 6 3 ×2=4 3 ，BC= 6 3 ×1=2 3 .

師：相信大家已經理解該種求法，關鍵是書寫，兩種三角板，都是直角，一種是含30°，一種是含45°.所以，該題先拿90°，再拿30°，則就可以寫出三邊的比.注意“大角對大邊，小角對小邊；角相等，對邊相等”，則可以得出書寫過程：

解 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°知BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 3 ∶ 2. （1）

當AC=6時，AB= 6 3 ×2=4 3 ，BC= 6 3 ×1=2 3 . （2）

師：過程總的寫幾部分？

生：3部分.

師：其實是2部分，第一部分就是根據圖形得出三邊比值.比值可以“生出”一條邊的長，也可生出兩條邊的長.我們可以把他叫作“媽媽生娃娃”，生出的“娃娃”會看一行即第（2）行，我們要記住媽媽的“生日”，即三邊的比值.

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=6，則AC= ，BC= .

師：媽媽的生日是？

生：1 ∶ 1 ∶ 2 .

師：生幾個娃娃？怎么算？

生：兩個，AC=6× 1 2 =3 2 ，BC=6× 1 2 ×1=3 2 .

師：寫出全過程就是……

二、例題演練（限于篇幅，不摘引相關練習題）

三、課例評析

（一）創造性地使用教材

該節課的內容在教科書中并沒有，李老師根據多年的教學積累和教材習題，利用小學的比例及除法的意義，設計了該內容，解決了初三學生記憶特殊銳角三角函數值上出錯或計算速度慢等問題.源于教材又創造性地使用了教材.

（二）合作與競賽相結合的學習方式

李老師一開場就通過形象的例子“七天大剩”將學生分組，并且一開始慷慨地給予了每組80分的基礎分，我感覺有兩點好處，第一，較高的基礎分會給學生一種積極的暗示，樹立自信，充分調動積極性.第二，一節課結束，排名靠后的小組也不至于太失望，因為他們的分數并不低.所以一節課下來，學生主動性較好，課堂氣氛很活躍，最高的小組得到了200多分.

（三）形象生動的口語表達

本節課的難點在于表述直角三角板中按比例求邊的過程，李教師用了“媽媽生娃娃，生出的娃娃會看一行”的表達，強調求解過程分為兩部分，第一部分為“媽媽的生日”即三邊的比.然后，“娃娃”會看一行，即第二部為邊的計算結果，要寫成一行.形象生動，接地氣，抓住了書寫過程的關鍵，學生充滿了興趣，真正做到了寓教于樂.