試論“銳角三角函數”一節的教材與教法

馮興進　肖勁森

【摘要】 在觀摩初中“銳角三角函數”同課異構實際教學的基礎上，就現行人教版數學教材對初中“銳角三角函數”一節的內容設計和教師的實際教學進行討論，并給出相應的改進方案，供各方數學教育工作者比較、參考.

【關鍵詞】 人教社；銳角；三角函數；教材；教法

【資金項目】 廣東省高等學校優秀青年教師培養計劃資助項目（NO.YQ2015117）.

一、引言部分

目前初中數學課堂普遍存在受考試指揮棒支配的現象，教師懼怕自己帶的學生考試成績掉下來，義無反顧地沿用傳統的教學方式——教學過程中重結論輕過程，然后，重復演練大量與考試同類型的題目.在新授課中，教師大多將數學作為一個已有的結論進行傳授，學生唯一有機會進行的思維活動就是解決教師為他們所安排的應用問題.當下，為了培養學生創新思維，更是受新課標的理念影響，一些教材以及部分一線教師漸漸地嘗試設計一些探究式教學.數學探究式教學就是一種以數學問題探究為主的教學方式.具體地說是指學生在教師所創設的情境下，通過觀察、實驗、操作、調查、信息搜索、合作與交流等數學活動，并經過反思與重組而構建新知識，發展情感與態度，培養學生用歸納、類比和猜想等合情推理的方法探究數學結論，用演繹推理的方法對結論做出證明，最后，對結果和解決問題的思維過程進一步的反思與交流.

銳角三角函數一節屬于數學概念課.正如文[2]所說，任何一個重要概念都應該說清楚如下幾件事：（1）概念是怎么產生的？（2）如何恰當地定義一個概念；（3）概念的內涵是什么.換弗萊登塔爾的話來說，也就是應該把學生當作數學家看待，讓學生通過再創造來學習數學而不是因襲和仿效，更不是把數學概念作為現成的產品強加給學生.用新課改中的三維課程目標來說，就是在落實三維目標的過程中，要以“知識與技能目標”為主線，滲透“情感、態度、價值觀”，并充分體現在學習探究的“過程與方法”中.新課標的課程理念指出，數學教學活動應激發學生的興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.

二、主題背景

探究式教學要使得學生學習的過程中含有直接創造的側面，更不能為了探究而探究，實踐也表明，并不是所有的數學知識都適合探究式教學.在課堂中實行探究式教學的初衷應該是為了突破教學的重點、化解教學的難點.這是三維目標中的“過程與方法”，目的是為了在這個探究過程中達成“知識與技能”和“情感態度與價值觀”的目標.無論是教材還是教師，嘗試實行探究式教學的初衷肯定是非常值得贊賞的，但在具體的設計中難免存在一些值得我們商榷的地方.以下是摘自人教版初中九年級數學下冊第二十八章“銳角三角函數”的內容[1]：

教材通過一個實際問題和一個學生已學定理（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）很好地把銳角三角函數所討論的三角形定型為直角三角形.這種巧妙的引入雖然降低了銳角三角函數知識引入的難度和時間，但是喪失了它原有的數學思想性.本章的標題為銳角三角函數，任何三角形都會存在銳角，課本卻選擇了這種直奔直角三角形的形式，雖然奔得巧妙，但把銳角三角函數知識的廣泛適用性埋沒了，從而把學習銳角三角函數的必要性和重要性也隱藏了，更是閹割了銳角三角函數產生和形成的過程性.

隨后，教材繼續通過兩個思考題的進一步引導和深入研討，給出了一個問題：“當∠A取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？”然后，進入了探究環節.看似探究其實就是一道證明題，看似可以探究其實只能進行驗證，因為也只有演繹推理能為該問題下定論.

就銳角三角函數一節，教學上真正的難點甚至真正的教學內容并不是學生是否接受正切、正弦和余弦的值是不是三角形某邊與某邊的比值，而是在數學發展的長河中，我們人類是如何注意到把某邊與某邊進行聯系起來的.例如，正弦，是什么東西在提示我們注意到用對邊與斜邊進行比值運算.這也正是銳角三角函數一節要引導學生進行探究的出發點和主要內容.以至后面內容在絲毫不體現函數特征的情況下就干脆對正弦、余弦和正切硬性規定為銳角三角函數.這些都顯示了新課改之后，我們的教材并沒有擺脫急于呈現數學知識，急于讓學生利用數學知識解題以便應付考試的傳統.這樣是明顯實現不了新課改中的三維課程目標的，至多算是新潮一點的舊雙基教育.

教材是教師最先接觸的知識載體，在具體運用中，教師對教材的處理也會顯示出自己的創造性和批判性.但就一些觀摩課來看，授課教師在教材處理上要么顧此失彼，要么只是進行機械性彌補.例如，有的教師引導學生分小組探究不同的直角三角形的銳角所對的直角邊與斜邊的比值、小組內探究固定銳角所對的直角邊與斜邊的比值是否是固定的，但是，由于人為誤差造成在探究中固定角度所對的直角邊與斜邊的比值并非是一個穩定值，所以，教師實際課堂上只能引導學生猜測其為穩定值，隨后再證明其為定值.這一環節相比于教材，引入得更為快速和簡潔.但這位教師這樣的探究安排更多是為了后面在小組之間的探究中發現這樣一個比值是會隨著角度的變化而變化的，從而凸顯銳角三角函數中的函數特征，最終使得學生形成銳角三角函數的概念（如下圖①）.這一點是比教材更好的.再如，也有的教師按教材的設計得出銳角三角函數概念之后，再跟學生一起討論為什么該函數要在直角三角形的前提下（如下圖②）給出定義.

①

②

三、再論“銳角三角函數”一節的教材與教法

以下是在對“銳角三角函數”一節原有的教材與實際教法進行研究分析的基礎上，給出的新的教材與教法.對于教學，以下行文并非能直接采用的教案或教材，僅從教材和教法角度提供一些參考、比較和啟示.

三角學像其他數學分支一樣，也不是任何一個人或一個民族的工作.公元前2世紀的三角學之父希帕克斯，亞歷山大城的梅涅勞斯和托勒密在一定程度上也只是三角學的集大成者和開拓者.在數學史書上也難以尋找到三角學產生的最原始歷程，往往也只是以一筆帶過，就如下述一段文字所示：“三角學是一門非常古老的科學，這門科學在埃及達到了高度的繁榮.由于兩門重要學科的需要促進了它的發展，天文學的需要產生了球面三角理論，大地的測量需要產生了平面三角的理論.”僅此而已.

其實，對于平面三角的創造，可以追溯到約公元前1650年古埃及的一部紙草書.由于紙草書的發現者，它又命名為《萊因德數學紙草書》，該草書中按順序排列了85道題，其中56—60題的內容是涉及三角學知識的，是圍繞金字塔的建造而展開的.如，

在金字塔的建造過程中，保持金字塔四個側面相對于水平面的傾斜度不變是一個非常關鍵的步驟.由于在建筑學的實踐中，測量隨著高度增加而帶來的水平偏離是更為容易進行的，所以草書中的4道題目都是關于底角的余切值而展開，并非正切、正弦和余弦.

這說明了古埃及人的初等三角函數知識是源于生活實踐，更是說明了古埃及人在三角形邊與角的聯系上得到了實質上的認識.由于金字塔的建造隨著高度的不斷上升，在測量上得到的就是一系列的相似直角三角形（如下圖）.實踐表明，任意的三角形都可以分拆成至少兩個直角三角形，這不僅僅體現前面學習的畢達哥拉斯定理的重要性，也體現我們將要學習的銳角三角函數的重要性.所以，金字塔的形狀，我們可以進行如下的簡化分拆.

在金字塔還停留在圖紙中時，埃及人民是如何確定當金字塔頂從B點建造上升到B′時，B′點是否還與A，B兩點共線的呢？我們可能會注意到，當△ABC與△A′B′C′相似且如圖∠A與∠A′重合時，B′就必定還在A，B所在的直線上.

在人教版初中九年級數學下冊第二十七章“相似”中，剛剛學習了相似三角形的相關知識，學生很清楚：兩個三角形相對應的邊相互成比例，那么兩三角形就會相似.但是現在作為兩個不是同時出現的三角形，后出現的三角形在建造中應該具備 什么屬性或者按照什么數據進行建造，才會使得后出現的三角形成型后一定與先出現的三角形相似呢？（注意：對于金字塔的建造而言，我們幾乎是不允許重來的）

這個屬性肯定是某一組相似三角形所共有的，現將先后建造出來的金字塔分拆成一組相似三角形，如圖△ABC～△AB′C′，由相似三角形的性質知：對應邊成比例（如 AB′ AB = B′C′ BC ）.這種相似三角形之間邊的聯系（ AB′ AB = B′C′ BC ）很好地把其中一個三角形的屬性傳遞給了另一個與它相似的三角形，這個屬性的真面目是 BC AB = B′C′ AB′ .那也就是說，相似三角形自身都會有一個屬性k= BC AB = B′C′ AB′ =….

所以，對于先后出現的△ACB，△AC′B′，△AC″B，我們容易有如下的結論：

所以，只要在建造中，不斷地滿足這個屬性，那么無論得到的三角形有多大規格有多少數量，它們都是相似的，只要相似，那么各個塔頂B，B′，B″，…就肯定在同一直線上.

我們不妨把這個屬性歸納并定義為：

以∠A為參考系，它的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦.記作sinA，即

sinA= ∠A的對邊 斜邊 = a c .

對于我們選定的參考系∠A來說，已知sinA= ∠A的對邊 斜邊 = a c ，我們約定c邊是不變的（如上圖），也就是說隨著∠A大小的變化，只有a邊在變化，那么對某特定大小的∠A，我們也就有某特定長度的對邊a，也就有了某一特定的比值 a c .從函數的角度看來，我們可以稱這種以∠A為自變量（由于初中還沒有引進角的弧度制，我們在此也完全可以把自變量的本質解析為相似三角形中變化的邊長），∠A的對邊與斜邊的比值為函數值的函數為∠A的銳角三角函數.

我們可以得到另一個類似的屬性，不妨歸納并定義為：以∠A為參考系，∠A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦，記作cosA，即

同理，我們還可以得到相似三角形的第三個屬性：以∠A為參考系，∠A的對邊與鄰邊的比叫作∠A的正切，記作tanA，即

同樣，正切也是一個函數，我們都稱它為∠A的銳角三角函數.

【參考文獻】

[1]義務教育課程標準實驗教科書·數學（九年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]何勇，曹廣福.數學課堂如何兼顧學生數學素養與應試能力[J].數學教育學報，2014，23（2）：67-69.