蒙特卡洛方法在積分求解中的應用

盧嘉澍

【摘要】 本文基于蒙特卡洛方法的定義，給出使用其進行近似積分的一般步驟，并以均勻分布為例講解了具體操作步驟.積分算例表明，這種方法概念簡單、編程容易，可應用于工程實際問題中重要的數值積分計算.

【關鍵詞】 積分計算；蒙特卡洛法；區間估計

一、引 言

蒙特卡洛法，也稱統計模擬方法，是一種計算機化的數學方法.20世紀40年代中葉出現了電子計算機，使得用數學方法模擬大量試驗成為可能.另外，隨著科學技術不斷發展，出現了越來越多的復雜問題，用通常的解析方法或數值方法都難解決.蒙特卡洛法（包括求積分、微分以及線性、非線性方程組等）就是在這些情況下，作為一種可行的，且是不可缺少的計算方法被提出和迅速發展起來的.以概率論為理論基礎，其可靠性與收斂性也能得到很好地說明.在通常積分的求解中，常用數值積分公式對積分進行求解.然而數值求積公式的精度將受到積分維數的影響，同時，對于無窮積分，將其近似地看作定積分本身也會喪失一定的精度.

二、算法思想

對于積分若能選取連續型隨機變量X，其概率密度函數p（x）滿足如下條件：

1.p（x）>0，x∈ R n.

2.p（x）及其上側分位數已知.

則便可對上述積分作統計模擬并進行誤差估計.特別地，若取概率分布為D上的均勻分布，則其概率密度

g（x）= 1 m（D） .

其中m（D）為積分區域D的測度.則原積分可轉化為

即相當于求隨機變量X在函數

下的數學期望，這就將積分問題轉化為期望估計問題，至此便可運用數理統計相關理論，如點估計、區間估計對其進行求解.

三、公式推導

考慮一般情形，對于所求期望E（h（x）），我們運用數理統計的相關理論對其進行區間估計.首先，假設

為一束均勻分布族，把上式代入積分表達式，可得

根據此式，可以得到n重積分的估計式

根據上式即可使用基于均勻分布的樣本對所求積分進行數值估計.

四、實 例

（1）考慮一維情形.根據隨機分布g（x）隨機選取樣本（x1，x2，…，xn），

則可以給出積分

的估計式

同時，也可以給出基于區間估計的誤差，置信度為1-α的誤差為

其中Kα為同置信度有關的常數，并滿足|Kα|<1.故誤差滿足

我們可以得到，積分值的估計量θ ^ →∫baf（x）dx，誤差的大小不隨維數而顯著改變，故這種估計方法是合理的.若取f（x）=ex，考慮其在[0，1]上的積分.選取n=10 000，生成10 000個[0，1]內的隨機數，再根據上式進行求解.使用MATLAB編程求解其在[0，1]內積分的近似值，運行代碼如下：

f=@（x）exp（x）；xx=rand（1，10000）；S=sum（f（xx））/

10000

輸出結果

S=1.718220782967407

對于任意區間[a，b]的均勻分布隨機數，總可以通過[0，1]內隨機數進行線性映射得到

r′k=（b-a）rk+a.

綜上所述，使用蒙特卡羅法進行積分計算的一般步驟為：

（1）根據概率密度函數，確定一組基于密度函數的容量為n的樣本（x1，x2，…，xn）.

（2）根據每層積分上下限的表達式，確定每一層相應積分樣本的上下限.特別的，若積分為矩形區域上的積分，則樣本上下限即為相應層積分區間的上下限[ai，bi].

（3）使用公式

對原積分進行數值估計.

五、結 語

使用蒙特卡洛方法進行積分計算，理論上可以通過選取合適的隨機分布來提高蒙特卡洛方法的精度.

由于蒙特卡洛方法思想簡單，易于編程實現，且一般的程序語言如C++，MATLAB，Mathematica都有生成各類常用分布隨機數的命令，更加方便了程序設計.并且，其精度不會隨著積分維數增大而顯著增長，對于計算一些復雜的高維積分有明顯的優勢.因此，可以推斷，蒙特卡洛方法將作為一種數值積分工具而得到廣泛應用.