常微分方程在數學建模中的運用

樊小琳

【摘要】 文章主要根據近幾年發表的一些參考文獻以及教學方式等，對數學教學中的常微分方程在建模中的教學作用進行分析與研究.首先，根據常微分方程在教學中的發展以及數學建模中的作用，進行詳細介紹，然后，利用具體的教學事例闡述常微分方程在數學建模中需要注意的事項.

【關鍵詞】 常微分方程；數學建模

數學一直是我國非常重視的科目，它能夠很好地提升人們的邏輯思維能力，同時，可應用到社會生活中.微分方程在數學教學中具有非常顯著的作用，并且，社會以及數學領域的發展，在一定程度上推動了微積分的進步與成熟，使其在現在的社會中應用非常廣泛，本文對常微分在數學教學以及建模的運用進行詳細研究.

一、常微分方程在數學中的發展與建模

數學中包含很多的方程或是公式等，例如，常見的線性方程或是指數方程等，雖然方程是數學學習中的重要內容，但不是解決所有數學問題的方法.所以，需要根據問題中提出的實際需要，結合各種條件探索未知方程式.但很多數學問題并不是根據一個簡單的方程式或是不變的數值就能得出答案，而可能需要很多的未知數，是一種復雜的函數形式.在遇到這種問題時，其實并沒有想象中那么復雜，因為數學方程式之間具有很多的相同之處，利用已知的方程式能夠引出另一種解題公式.將題目中的已知條件進行掌握，根據其中數值之間的聯系分解出更多的解題方程式.數學解題的方式并不是一成不變的，其中有很多因素是隨著條件的變化而變化的，但是在我們研究的常微分方程中還存在很多的疑惑需要解決.通過已經解決的問題我們能夠得出，常微分方程主要是根據其中的一個或是多個未知數，尋找出其中的固定量，根據列出的未知數或是方程，求取其中的解，常微分方程是一種微分方程.

常微分中的數學建模主要指在遇到一些比較復雜的問題時對復雜的現象進行詳細的分析，從中掌握數學知識中存在的規律，探索出數學知識的抽象關系，利用這些探索出的數學知識來解決現實中遇到的一些問題.這整個運行的過程被稱為數學建模.

二、常微分方程在數學建模中的特點

很多關系是瞬息萬變的，方程式也是如此，在一個特定的空間或是時間中，因為具體的探索對象不固定，會出現很多的變化，而在這樣的基礎上會形成一種規律，清晰地掌握這些規律，從中探索出其中存在的一些原理，找到解決問題的關鍵，這樣的變化形式往往是一種建模的狀態[1].針對數學建模來講，首先，是利用具體的建模目的對其中的問題進行清晰的分析，根據方程式的形式列出常微分方程，并且解答出其中存在的疑惑，解出方程中的答案，再根據答案進行探索與分析.因為數學建模自身是一種在思維以及方式上的創新，主要針對問題進行分析與解決，是一個邏輯性的過程，數學建模大部分來自實際的生活經驗以及探索方法，利用準確的解題切入點逐漸深入.在探索數學建模的過程中可以根據常微分方程的形式進行解決，因為解決的問題基本上是不固定的，所以，解題的方式等也比較煩瑣，利用微分方程的形式能夠對其中的思路進行分析，解決問題.

三、常微分方程在數學建模中的具體應用

在碰到一些實際問題期間，首先，需要明確對象，確定正確的數學建模.通過數學建模的目標以及方式等進行假想與簡化，再根據其中的固定規律，探索出解題方式.

1.在生活中經常會遇到一些常微分方程數學建模形式，其中包含對經濟變化的探析或是市場變化的增長、減少等問題，正常的情況下，我們需要利用實際的發生情況建立微分方程的數學模型，從其中探索出經濟或是市場變化規律，及時進行經濟策略的制定[2].例如，在市場上推行一種新的產品，t期間的市場銷售量為x（t），但是，因為商品的質量以及生產方面都比較優秀，所以，基本上生產出的成品都能夠作為一個宣傳品.t時期的產品生產銷量能夠達到 dt dx ，與x（t）基本上是正比例分配，并且在產品生產與銷售期間，需要詳細了解到市場經濟下對這種產品的具體需求量，用字母N來表示，相關的資料顯示，這種商品中的 dt dx 在沒有大部分進行銷售期間已經與銷量成正比，所以，計算方程式為 dt dx =kx（N-x），在公式中使用的常數k>0，那么，計算的變量與積分等式為x（t）= N 1+Ce-kNt ，在這樣的計算方式下，銷售量的逐漸增加會引起銷售速度的不斷加快，市場的容量會隨著商品銷售的變化逐漸變化.

2.物理中對于這種常微分方程式的建模形式應用也非常普遍，其中最明顯的是動力學模型.從常微分的起源來講，動力學是起源因素之一，動力學在物理中應用非常廣泛，并且是社會上一種比較常見的原理形態.動力學存在的基本定律為F=ma，這公式也是動力學原理中研究動力學計算的基本公式之一[3].在學習物理期間我們都知道，物體在不斷下降時的加速度與其重力之間基本上是成正比例的，但是在其中會存在很多的影響因素，其中空氣就是最大的阻力.按照常微分方程式的形式計算物體中存在的一些抗力因素，只需要根據公式的變化進行推理就可，方便了物理方面的研究與探索.

四、結束語

文章主要對微積分在數學建模中的運用進行研究，在平時的生活中這種方式非常常見，并且是促進社會進步與發展的重要計算方式之一.與此同時，這種研究能夠很好地解開原理的變形，在遵循基本原理的基礎上對其進行不斷延伸與分化，更深層次地剖析生活中的原理，促進方程式的發展與創新.

【參考文獻】

[1]閆永芳.關于在數學建模思想中融入二階常微分方程的探討[J].南昌教育學院學報，2012（02）：122-123.

[2]陳華，李寶軍.常微分方程在數學建模中的應用[J].大學數學，2012（02）：93-96.

[3]李寶萍.常微分方程在數學建模中的應用[J].赤峰學院學報（自然科學版），2012（21）：1-2.