淺談行列式的計算方法

卞蘭蕓

【摘要】 本文歸納總結了行列式的三種重要算法：化三角形法、加邊法和范德蒙行列式法，并通過例子說明了這些方法在解決各類問題中的應用.

【關鍵詞】 行列式；加邊法；范德蒙行列式

行列式的計算是線性代數中的一個重要問題，在數學的各類分支中有極為廣泛的應用.但行列式的計算方法很多且靈活多變，需要有較強的解題技巧.本文介紹了三類重要算法，并通過實例加以說明.

一、化三角形法

化三角形法就是利用行列式的性質將原行列式化成上（下）三角形行列式[1]計算的一種方法.根據上（下）三角形行列式元素的特點和結果的特殊性，用此種方法的主要過程就是化零元素，對一些特殊的行列式特別適用.

例1 計算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .

分析 化此行列式為上三角形的過程就是要把主對角線以下的第一列的n-1個1化為0，但要同時保證主對角線以下的其他零元素不變.這里只有依次做列運算c1- 1 j cj （j=2，3，…，n）才可實現.

Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n

=n！ 1-∑ n j=2 1 j .

二、加邊法

加邊法又叫作升階法，即給原n階行列式加一行一列得到n+1階行列式并使其值不變.

例2 計算行列式

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .

分析 此行列式的特點是主對角線上的元素是1+a1，主對角線外其他元素全為1，則可加元素全為1的一行，利用性質將其化為例1中的類型.

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an

= 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an

=a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .

三、范德蒙行列式法

著名的范德蒙公式是：

Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j

范德蒙行列式的結構特點是：第一行元素全為1，第二行元素為n個數，第三行元素為n個數的2次方，依此類推，第n行元素為n個數的n-1次方.若行列式的各行（列）中出現有規律的元素的k次方，我們往往都會用到范德蒙行列式法.

例3 計算行列式

Dn+1= an （a-1）n （a-2）n … （a-n）nan-1 （a-1）n-1 （a-2）n-1 … （a-n）n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .

分析 可將行列式的行依次交換成標準的范德蒙行列式，這個行交換過程共需做n+（n-1）+…+1= n（n+1） 2 次.

Dn+1=

（-1） n（n+1） 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 （a-1）2 （a-2）2 … （a-n）2 an （a-1）n （a-2）n … （a-n）n

=∏ n+1≥i，>j≥1 （i-j）.

矩陣中的很多問題可以借助行列式的計算解決，比如判定方陣的可逆性、求矩陣對應的向量組的線性相關性等，因此，行列式的計算極為重要.在計算行列式時，我們要把握行列式的特點，靈活選用適當的方法進行計算.

【參考文獻】

[1]陳紹林，唐道遠.線性代數[M].北京：科學出版社，2014.

[2]李師正.高等代數復習解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2005.