線性代數及其在經濟領域中的應用與作用

王珍萍

【摘要】 在人類的發展歷程中，人類文明也在不斷經歷著改變，不停地被豐富.人類文明是自人類誕生以來一直存在的，涵蓋著不同的領域，涉及人類活動的每一個領域與層面.其中，不得不提的就是數學.在人類的日常活動中，與數學的交集是數不勝數的，可以說，不管是生活、學習、工作等等，都要用到數學.數學作為最有效的工具學科之一，其涵蓋的知識領域也是十分廣泛的.線性代數是數學工具中應用最廣泛的理論之一.線性代數理論的發展歷程也十分悠久，在社會發展速度日益加快的今天，在自然科學、工程技術、社會科學、經濟、器械、計 算機、管理等各個領域，都有線性代數理論的身影.可以說，線性代數理論已經延伸到了科學發展的方方面面.值得一提的是，線性代數理論的應用在經濟領域中較為突出，其起到的作用是十分顯著且必不可少的.本文主要探討線性代數理論的發展以及線性代數在經濟領域中起到的作用，同時，分析其在經濟領域中的一些應 用.

【關鍵詞】 線性代數；發展；經濟領域；工具學科；應用與作用

經濟的發展直接影響著社會的發展、科技的發展、人們的生活質量等等問題，而影響經濟領域發展的因素中最關鍵的就是線性代數.提到線性代數，實際上有很多人都不知道它到底有什么作用，甚至是學習線性代數的學生，在剛開始學習線性代數的時候也不知道這到底能夠應用到生活中的哪些地方.線性代數在計算數學、運籌學、生物學、微積分、工程學、經濟科學、管理科學等眾多領域都有著廣泛的應用.尤其是在經濟領域中，線性代數得到了充分的應用.其實，經濟領域的整個系統內部每一個環節之間都是相互有聯系的，不是單一存在的，彼此之間是一種相互依存相互影響的關系.這就需要對每一種信息生產與投入進行分析，這也正是一種經濟數量上的分析方法，線性代數理論在此發揮了重要的作用.本文將對此做一個細致的分析，同時，舉出線性代數在經濟領域中幾個實際的應用實例.寫作本文的目的是以期能夠推進線性代數理論的應用層面發展進程，更好地將其應用到經濟領域以及其他方面，促進社會科技與經濟的全面發展.

一、線性代數的概述

（一）概 述

線性代數是數學這門工具學科中一門重要的基礎課程，不管是理工科的大學生還是經濟管理學的大學生，這都是他們必須要學習的一門課程.線性代數是充滿活力的經典數學分支之一，無論在純粹或應用數學、物理和工程、計算機科學及社會科學中都有廣泛應用.它主要是研究線性方程組解的結構，是學習高等代數的主體科目.

（二）線性代數的重要性及應用的廣泛性

線性代數的應用方向是十分廣泛的，但是在剛接觸線性代數的時候，大多數的人是不明白它有哪些用處的.前文提到線性代數主要是研究線性方程組的解，但是這個在研究線性方程組求解的過程當中發展出的相關理論是十分有價值的，在各個學科當中都有所應用.舉個例子，這里要提到一個名詞“線性空間”.所謂的線性空間，通俗來講，實質上就是數學專業的教師與學生們在進行數學領域更高層次的研究時的一個“容器”. 只需要在里面定義運算就成為各種各樣的代數系統.矩陣已經滲透到各個學科，成為從事各學科的研究工作者的共同語言.因此，我們說，線性代數，一方面是數學專業里學生要學習的基礎課程，另一方面，也是進入其他學科學習研究的門票.線性代數的應用涉及自然科學、工程技術、社會科學、經濟、器械、計算機、管理等各個領域 .

（三）線性代數教學研究中存在的問題

很多學生都覺得數學晦澀難懂，線性代數太難學，但實際上線性代數是學習其他學科的基礎課程.在線性代數的教學中，主要有以下幾個問題.

1.教材上側重點存在錯誤

線性代數的教學中，有一個顯著的問題就是教材的側重點錯誤.目前，我國許多的線性代數教材都偏重于理論的知識，輕視了實際應用.不僅如此，在公式的推導上也過于重視，對數值計算這一環節較為輕視.

2.學生沒有學習興趣

線性代數的學習中，由于教材中存在的以上問題很多的學生，對學習線性代數的學習興趣不高.單一的理論學習與公式推導，會讓學生產生線性代數學而無用的錯覺，同時，在實際的應用中也不知道該如何將線性代數的知識運用其中.

3.課時安排不合理

在線性代數的教學中，存在這種現象：很多院校在安排課時的時候，線性代數的課時明顯不夠.加之課程本身的難度較大，學生在課時不充足的情況下想要掌握線性代數的知識就更難了.

二、經濟學概述

（一）概 述

經濟學研究的目的是通過研究經濟活動，解釋經濟現象，找到經濟運行的規律，從而提出指導經濟活動的建議和方法，促進國際貿易的發展和國民經濟的增長，提高企業的利潤和人民的生活水平.現代經濟學的研究需大量運用現代數學方法和現代計算機技術，進行經濟數量關系的分析.

（二）經濟學分析

經濟學中經常會遇到需要分析投入與產出的問題，在這些問題的分析上通常都會運用到線性代數的理論，可以說，線性代數是經濟學領域中不可或缺的重要理論應用.

三、線性代數在經濟領域中的作用與應用

（一）線性代數在經濟領域中的作用

線性代數的研究對象是向量，向量空間或者說是線性空間.線性變換和有限維的線性方程組.此外，線性代數也大量地被應用到抽象代數以及泛函分析中；與此同時，線性代數主要是通過解析幾何的方法來具體表示其理論.

（二）線性代數在經濟領域中的應用

在經濟學領域中，整個經濟系統中的各個環節之間是相互聯系的，每一個部分其自身都是有著雙重性的.經濟系統中的每一個部分并不是單一地向自身或者其他的部分以及社會去提供其自身的產品或者服務，還會在生產的過程當中消耗掉自身和經濟系統中其他部分所提供的產品或者服務.線性代數在經濟分析中的應用主要有以下幾點：

1.投入產出方法的基本原理

例1 鐵路建設的鋼材需求問題.

建設一千米鐵路約需要用鋼材100噸，如果計劃增建3 000千米鐵路，需要鋼鐵部門增產多少鋼材？

分析 需要增產的鋼材是不是100×3 000=300 000（噸）呢？事實上并非如此.因為為了增建這三千千米鐵路，還需要增加采礦、煉鐵、煉鋼、軋鋼、電力、運輸等部門的生產能力，這些部門都需要增加對鋼材的需求，甚至擴大工人住宅也需要鋼材.因此，增建三千千米鐵路，遠遠不止需要30萬噸鋼材，必須統籌考慮各部門之間的關系，并進行綜合平衡.

投入產出分析就是對例1中這樣錯綜復雜的關系進行定量分析，使各部門能有計劃按比例地協調發展.它是研究某一經濟系統中各部門之間的“投入”與“產出”關系的一種線性模型，一般稱之為投入產出模型，被廣泛地應用在微觀及宏觀經濟系統的平衡分析上，已成為進行現代化管理的重要工具.

2.價值型投入產出模型

經濟系統中各個環節之間的投入與產出的關系一般來說都是通過產出表格來表述的.通過產出表中的數據，運用平衡方程來對產品分配進行運算與分析.為了保持一個經濟系統的正常運轉，必須保持投入與產出之間的平衡，從數量關系上看，就是要使xi，xij及yi滿足方程組x11+x12+…+x1n+y1=x1，x21+x22+…+x2n+y2=x2，…，xn1+xn2+…+xnn+yn=xn.

它表明，每一個部門的總產出xi應等于該部門留著本部門使用的產品及在生產過程中流向其他各部門作為中間產品消耗的產品xij和向社會提供的最終產品yi的總和.除此之外，在分析經濟學問題時還會用到這幾個平衡方程：生產消耗平衡方程、投入產出均等方程.在分析過程中，還會有設向量、列矩陣的運用，以及一些相關系數的運用.

四、結束語

綜上所述，線性代數理論的重要性無須贅述，其解決線性方程組解的結構中的理論與方法對其他科學領域的積極作用是十分顯著的.在當前市場經濟大環境的背景下，經濟領域中的投入與產出的分析也是如今國民經濟中重要的經濟核算實踐體系組成部分，線性代數在這部分的應用與重要作用是不可替代的.研究線性代數是一個長遠而有意義的事業，分析線性代數在經濟領域中的作用與應用也是十分必要的，如此一來才能更好地發展社會經濟，提高國家綜合競爭力，加快科技的發展，從而改善人們的生活水平.

投入產出分析是一種行之有效的經濟數量分析方法，投入產出模型是國民經濟計劃工作的重要工具.在市場經濟條件下，投入產出分析被充分吸收到國民經濟核算體系中，具有重要的實踐意義.

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