高等數學極限部分教學實踐探討

靳海濤

【摘要】 高等數學教學質量的提高一直是教育者關注的熱點.極限是高等數學最重要的概念，是整個微積分的基礎.本文結合自身教學經驗，對極限概念的教學進行了一些探討.

【關鍵詞】 高等數學；極限；教學

【基金項目】 國家自然科學基金青年基金（項目號：11501416）.

高等數學是大學非數學類專業的一門核心課程，一般在大學一年級開設.從內容上講，高等數學既是中學數學內容的推廣和擴展，又為后續各專業課程提供必要的基礎；從教學要求上講，高等數學通過介紹微積分學的理論與方法，力求培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學生的數學素養和應用能力.鑒于高等數學的重要性，它一直是絕大多數專業研究生入學考試的必考科目.然而，教學實踐表明，學生對這門課的掌握程度完全沒有達到預期目標.很多學生“談高數而色變”，戲稱“從前有一棵高高的樹，上面掛了很多人”.因此，高等數學教學內容改革和教學方法研究逐漸成了大家的研究熱點.本文結合自身經驗，對極限概念的教學方面做了一些探討.

一、極限概念的重要性與教學要求

極限是微積分的主要理論基礎，高等數學中的后續概念如導數、積分、級數等都要以極限概念為基礎來建立，后續的諸多計算性質也是由極限性質來直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續學習將相當困難.由于當下高數課程的課時較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴格的極限概念，要么直接講嚴格的ε-N極限表達，這使得學生云里霧里，對后續內容的學習十分不利.

另一方面，按照高等數學的課程標準，教學中須遵循“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯系實際，強調對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養，以努力提高學生的數學修養和素質.因此，極限概念不宜講得過難，關鍵是要讓學生建立起極限思維和認識到極限是一個變化過程.

二、極限概念的引入與建立

結合自身教學經驗，筆者在教學中一般采取如下教學步驟：

（一）還原極限發展過程，引發學生興趣

自公元前三四世紀產生極限思想的萌芽到德國數學家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見一斑.在教學中，首先，我們粗略介紹極限概念的發展歷程，使學生不感枯燥且能體會極限的基本思想.比如，《九章算術》中用割圓術計算圓的面積時，提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.在教學中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學生就已產生興趣，覺得這是“不可能的”，但細想之下又覺得有一定道理，迫切想知道正確解釋.

（二）采用“導—學—研”模式，從感性到理性，逐步引導學生探索

《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將其用數列來描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項an= 1 2n .學生們可以很直觀地認識到，隨著天數增加，所剩長度越來越小，會無限地接近于零但又不為零，即“萬世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個數列{an}，隨著n越來越大時，若通項an無限地接近一個常數A，則稱該數列的極限為A，記作 lim n→∞ an=A.此時，給出 lim n→∞ 1 n =？學生立刻會答：“等于零.”這表明已經建立了感性認識.

為了給出嚴格定義，可以提出問題：如何定量地表達“接近”？什么叫“無限接近”？一般的，學生很容易想到利用距離的大小來衡量接近程度，部分學生也能想到“無限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個規定的接近程度（用正數ε來刻畫接近程度），只要n很大，就一定可以達到該程度.對上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n <0.1，就需要n>10.換言之，只有從第十項開始（我們用N=10來刻畫這個開始下標），才能達到該接近程度.于是，為了表達無限接近，只需要對給定的任意一個正數ε，都能找到這樣一個開始下標N，從第N項開始，都有|an-A|= 1 n <ε.自然，該N可通過解不等式獲得.

至此，教師可以與學生一起將極限的描述性概念用嚴格的數學語言表達出來：若對任給的ε>0，總存在一個正整數N，對任意的n>N，都有|an-A|<ε，則稱數列{an}的極限為A并記作lim n→∞ an=A.

（三）用定義證明數列極限，強化理解

在公共數學的研究生入學考試中，一般不會考查嚴格的極限定義.雖然如此，我們還是認為，應當適時地讓學生練習一下如何利用極限定 義來證明極限.如下的例1是今后計算極限時常用的結論，例2則是從小學時代就困惑的循環小數問題.

例1 對給定的|q|<1，有 lim n→∞ qn=0.

例2 記an= 0.99 … 9 n個 ，有 lim n→∞ an=1.

（四）趁熱打鐵，將數列極限概念推廣到函數極限

建構主義學習理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者憑借原有的知識和經驗，在他人的幫助和引導下，通過意義建構的方式而獲得的.在完成數列極限的概念后，我們發現數列極限包含兩個變化過程，一是自變量n的變換，一是函數值an的變化.這樣，我們很容易引導學生自己給出函數極限lim x→+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無窮大時，函數值f（x）無限接近于A.在此基礎上，逐步引導學生建立其他極限概念（包括x→-∞，x→a，x→a+，x→a-）.講解時可以利用圖形的直觀性來展示，此外還要特別注意引導學生了解本質：就是隨著自變量x越來越接近某一值時，函數值無限趨近于某個常數.

三、結 語

對極限是高等數學的基礎，對這一概念掌握的好壞將直接影響后續內容的學習和理解，也將決定學生大學數學功底的修煉水平.本文通過極限部分教學中的一些具體問題來探索教學方法.當然，教無成法.要提高教學質量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學經驗，探索教學方法，以期從根本上提高教學效果，讓學生們真正熱愛數學！

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