基于完全學分制選課的數學模型思考

蔡禮淵

【摘要】 當前中國高校在教育改革中推行了學分制，而基于完全學分制選課的算法研究，對提高學生的學習積極性和學校的教學管理水平有著極其重要的意義.

【關鍵詞】 完全學分制；數學；模型

隨著高等教育改革的不斷深化，學分制的推行和選課管理成為其必要內容之一，建立基于完全學分制選課的數學模型具有十分重要的意義.

一、模型設計構想

完全學分制選課是采集學生上課需求，調配教學資源滿足需求的“多元約束”數學模型.在“多元約束”模型里可以定義一個三元信息組{X，D，A}.其中X={x1，x2…xn}是一個有限的變量集合，每一個xi的取值對應一個非空值域Dxi={d1，d2…dN}.C是有限的約束集合.解多元約束問題的辦法就是找出在C約束范圍下的最優解Xi.

二、建立數學模型

（一）模型元素構建

教學班：Course_Class（CC）.教學管理部門通常會根據選修學生人數和教師、教室等資源情況將選課學生劃分成為一個或多個教學班.教學班：CC={課程，選課集合，課程容量，任課教師，周學時，教室需求，其他略}.CC在模型中是最基本的變量集合.選課信息：SS，指學生基本的選課信息.定義為SS={學生，選擇課程，優選教師}.教學時間：Time，指最高排課時間.教室：Room，指提供給授課使用的場所以及附帶設備的統稱.定義為Room={類型，大小，數量}.約束：指使得選課數據能滿足排課要求的約束條件.約束1：有前提課程的選課必須滿足.約束2：學期最高學分限制.正常學生由于精力的制約選擇的課程學習量總和是有限制的.約束3：相近課程的學習.約束4：學生周課時限制.約束5：教師的周課時限制.約束6：同一時間的教室使用量受教室資源的控制.約束7：周教學時間有限.約束8：盡量高地提高選課滿意度.

（二）模型的構建和算法的選擇

已知數學模型的基本元素，得到多元約束問題中的基本變量集合X={x1，x2，…，xn}，也就是模型中的 A nn.同時，有了基本約束條件A.通過約束條件A，找出 A nn的值域集合D中最大滿足學生選課要求和能夠排課的解.其中第1、2、3、4、5條約束是很好滿足的，而第6、7、8條約束只在第一次選課和教學任務的安排中無法得出結論.當得到第一次選課結果后學校進行教學任務的統籌，給定人數太少不能開課的課程及合并選擇人數不夠的課程后，確定教學班CC={課程，選課集合，課程容量，任課教師，周學時，教室需求，其他略}.

如何滿足約束條件5、6、7得到最佳的解.通過教學任務的確定已知應有多少個教學班，教學班約束矩陣 A nn的階數，n得到確認.讓教學班約束矩陣 A nn中的每一個元素aij盡量小.aij小了代表課程與課程的沖突小，排課時不可排的概率更低.在這里使用聚合算法進行分配.聚合算法變量說明，如果有A教師的B課程有N名學生需求，開出了不止一個教學班，那么就需要進行分班.

1.n1表示A教師B課程的X名學生將被分成的教學班個數.

2.n2表示A教師B課程每個教學班的學生人數上限.

3.N表示選了該門課程的學生人數.

4.n3表示N名學生的選課總門數.

5.aik表示第i名學生選了第k門課程，aik∈{0，1}.

6.ykj表示把選了第k門課程的學生分到第j個班，這是一個決策變量，

目的是使分到第j個班的學生選其他課程的 門數盡量集中.于是有了目標函數minZ=∑ n1 e=1 ∑ n2 j=1 |yj-ye| ；st ∑ N i=1 aik ·ykj≤n2；yj=∑ n3 k=1 ykj為分班人數限制.第j個班由選了ji門課的學生組成，只需要構建一個函數使得它滿足上述的要求就能使教學班約束矩陣 A nn中的每一個元素aij盡量的小.

再引入一個量稱為閥值，閥值指給定的一個值，只要aij大于這個值就認為第i門課程和第j門課程沖突不能同時排課，aij小于這個值時認為可以排課.有了閥值后，凡aij大于閥值的置為1，小于等于的置為0，aii置為0.得到了一個新的矩陣 B nn， B nn是一個主對角線為0、元素為0，1的主對角線對稱簡單矩陣.

在不考慮課程周學時和教室的基礎上， B nn矩陣的秩就是可以排課的最小時間和.同理，只要 B nn矩陣的秩小于學校的最大排課時間，那么不管排課結果的好壞都一定能進行排課.接下來加入課程的周學時，構造一個輔助矩陣 D i，i指的是第i門課程， D i是主對角線0，1矩陣， D i的階數m是課程一周最多上課節數，1的數量為i課程的周學時.用 D i替換 B nn中為1的部分得到了一個新的n×m階主對角線為0、主對角線對稱的0，1稀疏矩陣 C ，在這里稱之為判定矩陣.只要 C 秩小于等于學校允許排課時間的總量，就認為在不考慮教室的情況下一定能排出課表.

三、小 結

本文探索分析了選課管理系統的相關技術，對系統中的一些關鍵技術的實現方法進行了研究，并以數學模型的形式闡述了該系統的實現方式，對于提高學校的教學管理水平有著十分重要的意義.

【參考文獻】

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