淺談拉格朗日中值定理的證明

李靜茹

【摘要】 微分中值定理是連接函數及其導數的一座橋梁，是應用導數的局部性質去推斷函數的整體性質的重要的、極為有效的工具，其核心的定理是拉格朗日中值定理.本文主要介紹證明拉格朗日中值定理時輔助函數的幾種構造方法.

【關鍵詞】 中值定理；輔助函數；構造

一、引 言

人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，而教材中關于拉格朗日中值定理的證明并沒有系統地歸納與總結.為加深學生對微分中值定理的理解，更好地掌握微分中值定理的應用，本文主要介紹拉格朗日中值定理的幾種證明方法，這樣一來便可以很清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意義所在.

二、拉格朗日中值定理的證明

定理 （Lagrange中值定理）若函數 f（x）滿足下列條件：

（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續；（2）f（x）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a .

證明拉格朗日中值定理時，通常要引進輔助函數.可是，如何巧妙地構造這些輔助函數，常常讓人感到困惑.下面通過五種途徑來構造輔助函數，并著重強調構造的思維過程.

（一）推論法

定理 （Rolle中值定理）若函數f（x）滿足條件：

（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續；（2）f（x）在開區間（a，b）內可導；（3）f（a）=f（b），

則在區間（a，b）內必有一點ξ，使得f′（ξ）=0.

現在設f（x）與g（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，再加上什么條件，函數f（x）-g（x）就能滿足羅爾定理的條件呢？

由羅爾定理的條件知，還需添加

f（a）-g（a）=f（b）-g（b），

即f（b）-f（a）=g（b）-g（a）.

這樣由羅爾定理知，在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）-g′（ξ）=0.

即f′（ξ）=g′（ξ）.

這樣我們就得到下面的推論1.

推論1 若函數f（x），g（x）滿足條件：

（1）f（x），g（x）在閉區間[a，b]上連續；（2）f（x），g（x）在開區間（a，b）內可導；（3）f（b）-f（a）=g（b）-g（a），

則在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得

f′（ξ）=g′（ξ）.

簡單地說，兩個連續且在內部可導的函數，若在同一區間上有相同的增量，則必在某一內點處有相同的導數值.

下面我們由推論1來證明拉格朗日中值定理.

因為f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，若取g（x）= f（b）-f（a） b-a x，其連續性與可導性是顯然的，又明顯地看出f（x）與g（x）在[a，b]上有相同的增量f（b）-f（a）=g（b）-g（a），由推論1，因而存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=g′（ξ），即f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a .

（二）分析法

設 f（b）-f（a） b-a =k，則有f（b）-f（a）-k（b-a）=0.下證k=f′（ξ），ξ∈（a，b）.

把等式的左邊看成是某個函數在區間[a，b]上的兩個端點的函數值，可以看出，這個函數在[a，b]上的兩個端點的函數值相等，而這正是羅爾定理所要求的條件，這也就使我們找到了要構造的函數.將式中數b用變量x代替，構造輔助函數F（x）=f（x）-f（a）-k（x-a），a≤x≤b.

顯然F（a）=F（b）=0，

這種構造方法像行云流水般的自然、流暢，構造出來的函數簡單明了，令人賞心悅目.

（三）待定系數法

設F（x）=df（x）+ex+l，x∈[a，b]，其中d，e，l為常數，則函數F（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，令F（a）=F（b）得e=-d f（b）-f（a） b-a ，

于是所構造的輔助函數為

（四）幾何法

設y=f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件.如圖所示，曲線弧AB 與弦AB 相交于A，B兩端點.利用函數y=f（x）及弦AB 所表示的函數的縱坐標之差來構造輔助函數F（x）.對同一個x，曲線弧AB 與弦AB 在區間[a，b]的端點的縱坐標之差都是0，即F（a）=F（b）=0（這正是羅爾定理的第三個條件）.因弦AB 的斜率為kAB = f（b）-f（a） b-a .

由點斜式得到弦AB 的方程為

（五）原函數法

從而也可將F（x）=f（x）（b-a）-（f（b）-f（a））x作為證明拉格朗日中值定理所構造的輔助函數.

三、結 論

通過以上討論可知，在證明拉格朗日中值定理的時候，輔助函數的構造方法是靈活多樣的.同時，拉格朗日中值定理的證明不僅提供了用構造函數法證明數學命題的精彩典范，也通過巧妙的數學變換，體現了將一般化為特殊，將復雜問題轉化為簡單問題的論證思想，這是高等數學的重要而常用的數學思維的體現.我們在學習過程中要善于汲取前人的經驗，積極思考，把“死”的數學學活，把“枯燥無味”的證明變為妙趣橫生的創造.這樣，數學才會越學越有味，越學越想學，我們也就越學越聰明，越學越能干.

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