Lω—空間的ω—強半連通性的樊畿定理

【摘要】 本文利用ω-強半遠域給出了Lω-空間的ω-強半連通性的樊畿定理的刻畫，并給出了相關應用.

【關鍵詞】 Lω-空間；ω-強半開（閉）集；ω-強半遠域；ω-強半連通性；樊畿定理

樊畿定理是連通性的一個重要刻畫定理，王國俊[1]教授曾將該定理推廣到了L-fuzzy拓撲空間中.2002年陳水利提出L-fuzzy保序算子空間[2]（簡稱Lω-空間），目前，對Lω-空間中相關問題的研究已是較為系統的工作，黃朝霞[3]給出了Lω-空間的樊畿定理的刻畫，王瑜在文[4]中引入了Lω-空間中的ω-強半開（閉）連通集與ω-強半連通性等概念，并系統地研究了這些概念的特征性質.本文在此基礎上將利用ω-強半遠域給出Lω-空間的ω-強半連通性的樊畿定理型刻畫.

一、預備知識

在本文中，L表示模糊格，M表示L上所有非零不可約元素（即分子）的全體所組成的集合，X表示非空分明集，LX表示X上的全體L-fuzzy集.A′表示A的偽補.1X和0X分別表示LX中的最大元和最小元.記M（LX）={xα|x∈X，α∈L}.Aω和A=ω分別表示A的ω-強半內部與ω-強半閉 包，ωSSη（xα）和ωSSη-（xα）分別為xα的ω-強半遠域和ω-強半閉遠域，其余未說明的概念和記號參見文獻

（1）ω（1X）=1X；

（2）A，B∈LX且A≤B，有ω（A）≤ω（B）；

（3）P∈LX，有P≤ω（P）.

則稱ω為LX上的一個L-fuzzy保序算子.如果A=ω（A），則稱A為LX中的ω-集.記Ω={A∈LX|A=ω（A）}，稱序對（LX，Ω）為L-fuzzy保序算子空間，簡稱Lω-空間.

定義1.2 [4] 設（LX，Ω）為Lω-空間，A∈LX，

（1）若存在B∈ωO（LX）（C∈ωC（LX）），使得B≤A≤B-°（C°-≤A≤C），則稱A為ω-強半開（閉）集.

（2）若A′為ω-強半閉集，則稱A為ω-強半閉集.（LX，Ω）中的ω-強半開集全體記作ωSSO（LX），ω-強半閉集全體記作ωSSC（LX）.

二、Lω-空間中ω-強半連通性的樊畿定理

定理1.1 （樊畿定理）設（LX，Ω）為Lω-空間，A∈LX，M（A）表示A中的全部分子之集.對任意的e∈M（A），ωSSη（e）表示e的全部ω-強半遠域之集，則A為ω-強半連通集當且僅當對于每個映射

令

={e∈M（A）|a與e可連接}，

φ={e∈M（A）|a與e不可連接}，

B=∨，C=∨φ.由于aP（a），故有AP（a），因此，a與e可連接，所以a∈，a≤B；又假設知a與b是不可連接，所以b∈φ，b≤C，這意味著B≠0X，C≠0X.對任意的e∈M（A），或者e∈或者e∈φ，所以A=B∨C.

現在證明B=ω∧C=B∧C=ω=0X（從而說明A不是ω-強半連通集）.

反設B=ω∧C≠0X.任取分子e≤B=ω∧C，由e≤B=ω及P（e）知BP（e），因此，存在y∈，使得yP（e）.從而有yP（e）∨P（y）且y≤B≤A，所以AP（e）∨P（y）.由y與a可連接知a與e也可連接.

另一方面，由e≤C知CP（e），因此，存在z∈φ，使zP（e），所以zP（e）∨P（z）且z≤C≤A，從而有AP（e）∨P（z）.由e與a可連接知道a與z也可連接，這與z∈φ相矛盾，因此，B=ω∧C=0X.

同理可證B∧C=ω=0X.從而A不是ω-強半連通集，這與條件A是ω-強半連通集相矛盾，故定理結論成立.

【參考文獻】

[1]王國俊.LF拓撲空間論[M].西安：陜西師范大學出版社，1988.

[2]陳水利.L-fuzzy保序算子空間[J].模糊系統與數學，2006（16）：36-40.

[3]黃朝霞.LF保序算子空間的樊畿定理[J].數學研究，2006（1）：105-108.

[4]王瑜，馬保國，張敏芝.Lω-空間的ω-強半連通性[J].科南科學2013（3）：285-289.

[5]Bai Shi-zhong.Fuzzy Strong Semi-open Sets and Fuzzy Strong Semi-continuity[J].Fuzzy Sets and Systems，1992（52）：345-351.