關于線性代數的幾個易錯點分析

李娜　孫海燕

【摘要】 本文結合幾道典型的線性代數例題，針對學生在學習中的幾個易錯點進行詳細的分析和研究，并進行總結和歸納.

【關鍵詞】 線性代數；范德蒙德行列式；行階梯形；行最簡形

線性代數是大學生必修的一門公共基礎數學學科，這門課的特點是公式多、式子大、符號繁，對相當一部分學生來說入門難，學起來困難較多.下面就學生容易出錯的地方做一分析.

乍一看，沒有錯，但仔細分析后發現，在運用范德蒙德行列式計算該題時，公式中是后項減前項的乘積，而不是前項減后項的乘積. 正解 由范德蒙德行列式

有人會認為，兩種做法過程不同，但結果相同，沒必要過多追究這個細節.

但是看這個題： 1 1 12 4 54 16 25

（1） 1 1 12 4 54 16 25 =（2-4）（2-5）（4-5）=-6.

（2） 1 1 12 4 54 16 25 =（4-2）（5-2）（5-4）=6.

兩個過程得到的結果剛好相差一個負號，這是怎么回事呢？

下面證明一下這個結論.

證明 用數學歸納法進行證明.當n=2時，

所以當n=2時（）式成立.

現在假設（）式對n-1階范德蒙德行列式成立，下證（）式對n階范德蒙德行列式也成立.

2.一個非零矩陣的行階梯形與行最簡形有什么區別與聯系？

答：首先，任何一個矩陣都可經過有限次初等行變換化為行階梯形和行最簡形；

其次，行最簡形一定是行階梯形，但行階梯形不一定是行最簡形.其區別在于，行最簡形需在滿足行階梯形的基礎上增加兩條：（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在列的其他元素為零.

3.在求解關于矩陣 A 的問題時，什么時候只需化為行階梯形，什么時候需化為行最簡形？

答：一般情況下，在求矩陣 A 的秩和求矩陣 A 的列向量組的最大無關組時，需要把矩陣 A 化為行階梯形.用初等行變換求矩陣 A 的逆、求矩陣方程 A X= B 、求解線性方程組的通解或基礎解系時，需要把矩陣 A 化為行最簡形.

例如，解線性方程組

在線性代數這門課的學習過程中，若仔細體會某些基本知識點，雖有一字之差，但含義卻相差甚遠.因此，在學習這門課時一定要足夠細心、足夠認真才行.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系，工程數學，線性代數，第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]胡顯佑.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]趙樹嫄.線性代數（第3版）[M].北京：中國人民大學出版社，2004.