含泊松跳躍隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可觀測性研究

李奇勛，藺香運(yùn)，張維海

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

含泊松跳躍隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可觀測性研究

李奇勛1，藺香運(yùn)1，張維海2

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

討論了由布朗運(yùn)動和泊松跳躍過程共同驅(qū)動的隨機(jī)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可觀測性問題。在引入線性算子的基礎(chǔ)上，首先結(jié)合譜分析方法，得到了含跳躍隨機(jī)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件，并且獲得系統(tǒng)可觀測性的PBH判據(jù)。其次，在系統(tǒng)穩(wěn)定性和可觀測性的基礎(chǔ)上，得到了含跳躍隨機(jī)線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充要條件。最后，將“不可移動的譜”的概念推廣到含泊松跳躍的線性隨機(jī)系統(tǒng)，并獲得相應(yīng)的判定條件。

泊松跳躍；穩(wěn)定性；可觀測性；不可移動的譜

穩(wěn)定性和可觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個重要的概念，系統(tǒng)的穩(wěn)定性表示系統(tǒng)保持在平衡狀態(tài)的一種能力[1]，系統(tǒng)的可觀測性表示系統(tǒng)輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的反映能力[1]。對于穩(wěn)定性，學(xué)者們歷來都有不同的描述方式，如漸近均方穩(wěn)定性[2]、弱穩(wěn)定性[3]、指數(shù)穩(wěn)定性[4]等。對于可觀測性,學(xué)者們也有著不同的定義，如精確能觀測性[2-3]、隨機(jī)能觀測性[5]、W-能觀測性[6]等。穩(wěn)定性和可觀測性是研究許多問題如二次最優(yōu)控制問題[7-8]、H2/H∞控制問題[9]等的前提條件。

在理論研究中，常見的隨機(jī)系統(tǒng)大多是由布朗運(yùn)動或者馬爾科夫跳躍驅(qū)動的[2-4，6-7]，還有許多系統(tǒng)含有泊松過程[8-10]。含泊松跳躍的控制理論在工程與金融市場中有廣泛的應(yīng)用前景[7-10],如在傳統(tǒng)期權(quán)定價理論中，常假定股票價格的波動服從幾何布朗運(yùn)動。但現(xiàn)實(shí)中股票價格常因?yàn)樽匀粸?zāi)害、戰(zhàn)爭、經(jīng)濟(jì)危機(jī)和重大政治事件等而導(dǎo)致隨機(jī)性突然跳躍。為了更好地描述這種現(xiàn)象，需要引入新的數(shù)學(xué)模型。含泊松跳躍隨機(jī)系統(tǒng)不僅包含了布朗運(yùn)動描述的隨機(jī)因素，也包含了市場的突然變化，因此對含泊松跳躍隨機(jī)系統(tǒng)的研究具有重要意義。

本研究首先利用矩陣?yán)碚摰闹R構(gòu)造一個確定性系統(tǒng)，使得含泊松跳躍線性隨機(jī)系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定和精確可觀測等價于該確定性系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定和完全可觀測。然后利用譜算子技術(shù)將確定性系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定的充要條件推廣到含跳隨機(jī)系統(tǒng)，并且把確定性系統(tǒng)完全可觀測的PBH判據(jù)推廣到含跳隨機(jī)系統(tǒng)。另外，將伊藤型隨機(jī)系統(tǒng)中“不可移動的譜”的概念[2-3]推廣到含跳隨機(jī)系統(tǒng)，并且得到相應(yīng)判別方法。最后列出幾個關(guān)于上述定理的數(shù)值例子。

為方便討論，引入下列記號：Sn(R)：元素為實(shí)數(shù)的n×n對稱矩陣集合，Rn×m：元素為實(shí)數(shù)的n×m矩陣集合，Rn：元素為實(shí)數(shù)的n維向量集合，AT：A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*：A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，tr(A)：矩陣A的跡，?：Kronecker乘積的算符，C：復(fù)數(shù)域，C-：復(fù)數(shù)域負(fù)半平面，I：單位矩陣。

1 系統(tǒng)描述

主要考慮下面兩個系統(tǒng)：

i) 由布朗運(yùn)動和泊松跳躍過程驅(qū)動的線性隨機(jī)自治系統(tǒng)

(1)

ii) 由布朗運(yùn)動和泊松跳躍過程驅(qū)動含反饋的閉環(huán)線性隨機(jī)系統(tǒng)

(2)

為方便，下文中的x(t),y(t)皆簡寫為x,y。其中x(t)∈Rn,y(t)∈Rl分別為系統(tǒng)狀態(tài)和量測輸出，(A,B,A0,B0,A1(e),B1(e),K,Q)∈Rn×n×Rn×m×Rn×n×Rn×m×Rn×n×Rn×m×Rm×n×Rl×n，A,B,A0,B0,A1(e),B1(e)是系統(tǒng)參數(shù)，K為反饋矩陣，Q是輸出矩陣。

2 泊松跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定性

定理1 系統(tǒng)(1)是漸近均方穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)σ(L )∈C-，其中

(X∈Sn(R),L [X]∈Sn(R))，σ(L)={α∈C:L(X)=αX}。

證明 令X(t)=E[x(t)xT(t)]通過伊藤公式可以計算得：

(3)

構(gòu)造一個算子如下：

對(3)式兩邊進(jìn)行拉直可得：

定義2 對于系統(tǒng)(2)，如果存在一個反饋矩陣K，使得對于任意初始狀態(tài)x0∈Rn×n，系統(tǒng)(2)穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)(2)是鎮(zhèn)定的。

定理2 系統(tǒng)(2)是鎮(zhèn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個反饋矩陣K，使得σ(LK)∈C-，其中

LK[X]=(A+BK)X+X(A+BK)T+(A0+B0K)X(A0+B0K)T

+∫E(A1(e)+B1(e)K)X(A1(e)+B1(e)K)Tλ(de),(X∈Sn(R),LK[X]∈Sn(R))。

證明 類似于定理1的證明，定理2可證出，此處不再贅言。

3 精確可觀測性

定義3 若對于任意T>0，系統(tǒng)(1)滿足y(t)≡0,t∈[0,T],T>0?x0=0，則稱系統(tǒng)(1)為精確可觀測的。

定理3 系統(tǒng)(1)精確可觀測，當(dāng)且僅當(dāng)不存在X≠0∈Sn(R)滿足下式：

(4)

當(dāng)系統(tǒng)(1)精確可觀測時，由定義3可知，對于任何非零初始狀態(tài)X(0)=Ex(0)x(0)T≠0都存在一個時刻t1>0使得

Y(t1)=E[y(t1)y(t1)T]=E[Qx(t1)xT(t1)QT]=QX(t1)Q≠0，

(5)

由此構(gòu)造了一個確定性系統(tǒng)：

(6)

并且通過上述討論易得：系統(tǒng)(1)精確可觀測等價于確定性系統(tǒng)(6)，完全可觀測。

由確定性系統(tǒng)完全可觀測的PBH判據(jù)知，確定性系統(tǒng)(6)完全可觀測，當(dāng)且僅當(dāng)不存在ξ≠0∈Cn2，使得L(A,A0,A1(e))ξ=αξ,(α∈C)，且L(Q)ξ=0。由L(A,A0,A1(e))，L(Q)的定義可知，這等價于不存在X≠0∈Sn(R)滿足(4)式，由此定理3證畢。

4 不可移動的譜

由算子LK的定義知，LK為定義在希爾伯特空間Sn(R)上的線性算子，對于任意X∈Sn(R),Y∈Sn(R)，定義內(nèi)積〈X,Y〉=tr(X*Y)。給出以下定義：

定義4 若H1、H2是希爾伯特空間，T是H1到H2上的有界線性算子，T*是H2到H1上的有界線性算子，且對于任意的x∈H1、y∈H2滿足〈Tx,y〉=〈x,T*y〉，則稱T*是T伴隨算子。

∫E(A1(e)+B1(e)K)TX(A1(e)+B1(e)K)λ(de)∈Sn(R)。

為判斷α是否為系統(tǒng)(2)的不可移動的譜，給出以下定理。

定理4α為系統(tǒng)(2)的不可移動的譜當(dāng)且僅當(dāng)以下三個等式同時成立：

(7)

+∫E(A1(e)+B1(e)K)TX(A1(e)+B1(e)K)λ(de)

(8)

(9)

FK+KTF+KTGK=0。

(10)

欲證明必要性成立，只需證明F=0,G=0即可。(10)式又寫為FK+KTF=-KTGK，這個等式左邊是關(guān)于K的一次多項(xiàng)式，右邊是關(guān)于K的二次多項(xiàng)式，等式成立則必有二次多項(xiàng)式的系數(shù)為0，即G=0。

現(xiàn)證明F=0，將G=0代入(10)式可得FK+KTF=0，即

FK=-KTF，

(11)

記F=(fij)n×m，因?yàn)?11)式對任意矩陣K成立，令

由FK=-KTF，得f1i=…=fni=0。因?yàn)閕,j可以取任何滿足條件的整數(shù)，又fij=0，所以F=0，綜上所述定理4得證。

5 數(shù)值例子

例1 判斷穩(wěn)定性

例2 判斷是否為不可移動的譜

將這些數(shù)據(jù)代入下列等式中：

例3 判斷系統(tǒng)是否精確可觀測

將數(shù)據(jù)代入下列方程中：

經(jīng)計算得上式只有零解，即X=0，由定理4可知，系統(tǒng)(1)精確可觀測。

6 結(jié)論

研究了由布朗運(yùn)動和泊松跳躍過程共同驅(qū)動的線性隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性和可觀測性問題。通過構(gòu)造線性算子L的方法，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定和鎮(zhèn)定的充分必要條件，系統(tǒng)精確可觀測的PBH判據(jù)。隨后引入“不可移動的譜”的概念并得到了相應(yīng)的判別方法。由于本研究構(gòu)造算子L的方法不適用于非線性隨機(jī)系統(tǒng)，而且C2[0,+∞)空間是無窮維的，在C2空間中討論線性算子譜較復(fù)雜，因此不能將所得的幾個判據(jù)推廣到非線性隨機(jī)系統(tǒng)。對于非線性情形，可以考慮借鑒Lyapunov函數(shù)的方法引入線性生成元算子，這將作為后續(xù)研究的內(nèi)容。

[1]劉豹,唐萬生.現(xiàn)代控制理論[M].3版.北京:機(jī)械工業(yè)出版杜,2015:157-177.

[2]ZHANGWH,CHENBS.Onstabilizabilityandexactobservabilityofstochasticsystemswiththeirapplications[J].Automatica,2004,40(1):87-94.

[3]ZHANGWH,ZHANGHS,CHENBS.GeneralizedLyapunovequationapproachtostate-dependentstochasticstabilization/detectabilitycriterion[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2008,53(7):1630-1642.

[4]HULJ,MAOXR.Almostsureexponentialstabilisationofstochasticsystemsbystate-feedbackcontrol[J].Automatica,2008,44(2):465-471.

[5]CHENHF.Onstochasticobservability[J].ScienceinChinaSeriesA：Mathematics,1977,20(3):31-50.

[6]ZHANGWH,TANC.Ondetectabilityandobservabilityofdiscrete-timestochasticMarkovjumpsystemswithstate-dependentnoise[J].AsianJournalofControl,2013,15(5):1366-1375.

[7]RAMIMA,ZHOUXY.Linearmatrixinequalities,Riccatiequations,andindefinitestochasticlinearquadraticcontrols[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2000,45(6):1131-1143.

[8]史敬濤.帶泊松跳躍的正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制理論及其應(yīng)用[D].濟(jì)南:山東大學(xué),2009.

[9]LINXY,ZHANGR.H∞control for stochastic systems with Poisson jumps[J].Journal of Systems Science and Complexity,2011,24(4):683-700.

[10]于輝.帶泊松測度隨機(jī)微分方程數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2013.

[11]侯婷.離散時間Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒H2/H∞控制[D].青島：山東科技大學(xué),2010.

(責(zé)任編輯:傅 游)

Stability and Observability of Stochastic Systems with Poisson Jumps

LI Qixun1, LIN Xiangyun1, ZHANG Weihai2

(1. College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590, China；2. College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590, China)

This paper discusses the stability and observability of the linear stochastic systems driven by Brownian motion and Poisson jumps process. Firstly, linear operator was introduced and spectral analysis was used to obtain the necessary and sufficient conditions for the stability as well as the PBH criterion of the linear stochastic system with Poisson jumps. Secondly, based on the stability and observability, the necessary and sufficient conditions for the stabilizability of the linear stochastic system with Poisson jumps were presented. Finally, the concept of “unremovable spectral” was extended to the stochastic system with Poisson jumps, and the corresponding judgment condition was obtained.

Poisson jumps; stability; observability; unremovable spectral

2016-09-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61573227)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2016FM48)

李奇勛 (1992—)，男，山東濟(jì)寧人，碩士研究生，主要從事含Possion跳隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究. 張維海(1965—)，男，山東萊陽人，教授,博士生導(dǎo)師，主要從事隨機(jī)系統(tǒng)的譜分析、隨機(jī)H∞控制和濾波器設(shè)計、機(jī)器人控制和量子系統(tǒng)的跟蹤控制等方面研究，本文通信作者.E-mail: w_hzhang@163.com

TP13

A

1672-3767(2017)02-0095-06