基于稀疏表示的圖像復原問題模型研究

張璐璐，吳月勤，張 婷

(1.安徽糧食工程職業學院信息技術系，安徽合肥 230011；2.安徽大學計算機科學與技術學院，安徽合肥 230039)

基于稀疏表示的圖像復原問題模型研究

張璐璐1,2，吳月勤1，張 婷1,2

(1.安徽糧食工程職業學院信息技術系，安徽合肥 230011；2.安徽大學計算機科學與技術學院，安徽合肥 230039)

過完備稀疏表示模型是繼小波變換和多尺度幾何分析之后圖像表示理論最重要的理論成果，給圖像處理帶來新的研究思路。本文在該模型下研究典型圖像復原問題，以圖像修復為應用實例，研究模型求解方法并進行仿真實驗，實驗結果驗證了稀疏表示處理圖像復原問題的有效性。

稀疏表示；圖像復原；字典學習；過完備字典

傳統的圖像表示模型基于調和分析理論，采用正交線性變換，圖像表示為有限項的單一基函數的組合，如傅里葉變換、離散余弦變換以及小波變換等。傅里葉變換對一維平穩信號非常有效，但對非平穩奇異信號無法形成稀疏表示。小波變換在處理一維和二維的具有點狀奇異性的非平穩信號時，表現出良好的性能，但是處理線狀奇異性信號時效果并不是很好。多尺度幾何分析方法(如曲線波、輪廓波以及方向波等變換)較好地克服了小波變換的不足，具有更高的方向分辨率，同時具備各向異性特征，從而能夠更加有效地表示和處理圖像中的邊緣輪廓信息等，但是這些固定的基函數僅適用于具有特定幾何結構的圖像表示，而自然界圖像通常是具有豐富的紋理和多樣性的形態，多尺度幾何分析仍存在不足。

圖像過完備冗余稀疏表示模型，是近十年來繼多尺度幾何分析后信號表示領域最重要的研究成果，對信號及圖像處理產生了深刻影響。其基本思想是：信號在合適的過完備字典下總存在稀疏的表示，即大部分表示系數為零，只有很少的非零系數；字典的原子通過變換增強了系統的冗余性，這樣可以為信號的自適應稀疏擴展提供了更多的選擇,提高信號逼近的靈活性，進而提高對復雜圖像幾何結構的表示能力；而非零系數刻畫了圖像信號的本質屬性和內在結構，具有顯式的物理意義，在許多的圖像處理任務中得到了很好的驗證。本文在稀疏表示理論框架下，研究典型的圖像復原模型及求解問題，并通過實驗驗證其有效性。

1 稀疏表示與圖像復原問題

1.1 稀疏表示

設D∈n×K(n

(1)

此時，也稱信號是T-稀疏的。其中，α∈K為表示系數，其稀疏性由l0范數‖α‖0來描述，表示具有非常少(T?K)的非零元素。對于該式的求解，通常采用如下的拉格朗日乘子形式：

(2)

其中，λ用以平衡表示系數的稀疏程度和分解誤差精度。

1.2 圖像復原問題描述

圖像復原的目標是從退化的觀測圖像y中重構出理想的高質量圖像x，這在數學上是個典型的病態反問題，對于這類問題，其數學模型可以定義為：

y=MHx+v.

(3)

其中，M和H為圖像降質算子；v為符合某種概率分布的噪聲，通常用加性高斯白噪聲來描述，M和H的不同形式描述了不同的圖像復原任務。由于圖像復原問題的病態性，僅用式(2)中l2范數的保真度進行求解會導致解的不唯一或不穩定。對于這樣的問題求解，通常是利用圖像的先驗知識構造正則化項，從而使病態問題變為良態以獲得穩定的唯一解，一種常見的正則化模型是總變分模型(Total Variation，TV)：

(4)

y=MHDα+v.

(5)

而a可以由觀測圖像進行稀疏編碼求得，與TV模型相似，在稀疏表示下，根據式(2)有：

(6)

2 圖像復原模型

在式(6)中，M和H取不同的值時圖像處理任務是不同的，相應的問題求解也不一樣。將不同的M和H值與式(2)的求解結合起來，就可以構造出稀疏表示下典型的圖像復原和重建問題模型。

2.1 圖像壓縮

對于未壓縮的含噪圖像y∈n，假設圖像噪聲v的能量有限，滿足‖v‖2≤δ，在分解殘差參數ε(ε≤δ)的約束下，通過求解：

(7)

得到的壓縮表示系數αδ含有T(T?n)個非零元素，那么圖像就可以y=Daδ進行壓縮逼近表示，而逼近誤差上限是δ。在此情況下，通過調節δ可以得到更高的壓縮率，同時誤差也會增加，這樣，就可以得到反映某種壓縮系統性能的壓縮-失真曲線圖。

2.2 壓縮感知

信號壓縮感知理論認為，圖像在滿足圖像x在字典D下的表示系數是稀疏的，且在表示系統D中獲得T-稀疏系數的情況下，如果由觀測系統Φ所確定的壓縮感知算子A=ΦD滿足任意2T列都是線性無關的，那么僅需要T+1觀測就可以將n維的T-稀疏圖像精確地重構。假設觀測系統Φ∈T×n是具有高斯獨立同分布的隨機矩陣，直接進行圖像測量得到y=Φx=ΦDa，顯然，y是T維而不是n維(T?n)。那么通過求解：

(8)

即得到稀疏表示系數αε，理想圖像則由x=Daε重構。因此，圖像的表示系數越稀疏，精確重構所需的觀測數目就越少。

2.3 形態成分分析

假設由兩種不同的子成分圖像重疊在一起構成了觀測圖像，即y=y1+y2，且每個子圖像可以在各自的基字典下稀疏表示，例如，將圖像的卡通成分和紋理成分分開或者將語音信號從脈沖噪聲中分離。在稀疏表示下，通過求解：

(9)

可以得到(α1,α2)，由此重建y1=D1a1，y2=D2a2，于是，兩種重疊在一起的子圖像得到了分離。由于圖像是結構復雜的多形態二維信號，模型在圖像處理中又稱為形態成分分析，如文獻[4]將該模型用于超分辨率重建，取得了較好的效果。

2.4 去噪、去模糊及修復等逆問題

考慮更一般的形式y=Mx+v，也就是觀測圖像是由理想圖像x在降質系統M和噪聲v的共同影響下獲得的。當M分別定義為單位矩陣、模糊矩陣(點擴散函數)和掩碼矩陣時，此時的IR問題就分別對應著圖像去噪、圖像去模糊和圖像修復等具體問題。通過求解：

(10)

根據得到的圖像稀疏表示系數αε來逼近理想圖像x=Daε。

2.5 圖像超分辨率重建

在下采樣矩陣M的作用下，低分辨率的觀測圖像y∈n的維度小于高分辨率的理想圖像x∈m的維度，即n

y=MHx=Lx.

(11)

其中，H為高通線性濾波器，表示某種模糊退化。顯然，與上述圖像處理任務不同的是，超分辨率重建所需的圖像編碼和重建的字典需要在不同的維度空間進行。記高分辨率字典為Dh，可以由高質量的樣本圖像學習獲得，那么理想圖像可以由其稀疏表示系數來線性表示，即x=Dha，超分辨率重建問題就變成了從低分辨率觀測圖像中求解其稀疏表示系數α：

y=Lx=LDhα.

(12)

而低分辨率字典Dl=LDh可以由高分辨率字典進行樣本下采樣獲得。此時，通過求解：

(13)

則理想的高分辨率圖像可由x=Dha重建獲得。

需要說明的是，在以上的基于稀疏表示的圖像復原模型中，基于編碼效率考慮，通常不是對整幅圖像進行處理，而是將圖像分割成部分重疊的小的圖像塊進行稀疏編碼。

3 圖像修復方法與實驗

本節以2.4節的圖像修復模型為例，通過模型求解、算法設計以及仿真實驗，驗證稀疏表示模型在圖像復原問題中的有效性。

3.1 圖像修復方法

對于式(10)，當M定義為掩碼矩陣，它就是已知的待修復區域的污損部分，在最大后驗概率估計下，圖像修復問題可以描述為：

(14)

其中，右側第一項為觀測圖像y與修復圖像x的逼近誤差；第二項和第三項為修復圖像的每個圖像塊pi=Rix的稀疏表示αi在一定的誤差邊界內。

在字典D通過學習已經獲得的情況下，對于上式雙參數優化問題的求解，通常采用固定一個而更新另一個的策略反復迭代完成。

第一步，固定x，對圖像塊進行稀疏分解：

(15)

該式避免了式(14)中的參數μi的選擇，并且圖像塊表示殘差Dα-pi只和本圖像塊的像素值有關，σ2是噪聲方差，而ni是將圖像塊的掩碼部分考慮進去，ni=1TMi1。

第二步，當得到所有的αi后，固定αi，對待修復圖像x進行更新：

(16)

在上述的稀疏編碼和圖像更新中，均假設字典D是已知的，在實現過程中，字典需要預先準備。事實上，字典的學習是稀疏表示的核心問題之一，可以采用傳統的變換，如通過離散余弦變換得到，也可以采用機器學習的方法(如K-SVD字典學習)從圖像中學習獲得。

3.2 實驗結果與分析

為了驗證本文方法的有效性，利用標準測試圖像進行仿真實驗。實驗過程中，圖像塊大小取8×8(圖像塊要大于污損區域面積)，字典分別采用離散余弦變換(以下簡稱DCT)和K-SVD字典學習方法，并與TV模型方法進行對比分析。對于實驗結果，主觀上從視覺效果及細節信息、客觀上從峰值信噪比PSNR和均方根誤差RMSE等指標進行圖像修復質量評價。實驗結果如圖1所示，限于篇幅并便于細節信息對比，本文只給出Lena圖像的局部修復結果。

圖1 Lena圖像修復結果(局部)

圖1(a)為待修復的污損圖像，其中的涂鴉文字為待修復區域(占總圖像區域的13.76%)。實驗過程中，污損圖像由涂鴉文字圖像與原始圖像點乘獲得。圖1(b)是利用DCT字典修復結果，圖1(c)是利用K-SVD字典修復結果。從圖1中可以看出，在稀疏表示下，無論用DCT字典還是用K-SVD字典，都能夠取得較好地修復效果。在大部分的待修復區域，圖像的紋理結構信息都能夠較好地得到修復，除了部分待修復紋理與圖像紋理方向一致的區域外，圖像細節信息較為完整、逼真。為進一步評價圖像修復質量，計算其峰值信噪比RSNR和均方根誤差RMSE等指標,進行客觀評價，結果如表1所示。

表1 不同圖像的RSNR(dB)和RMSE值(13.76%丟失)

由表1中數據可知，本文提出的方法能夠較好地保持圖像的峰值信噪比，修復的均方根誤差較小，這與圖1中的主觀視覺效果相符合，從客觀上驗證了稀疏表示模型在圖像復原問題中的有效性。

4 結語

綜上所述，本文在過完備冗余字典稀疏表示模型下，較為完整地研究了典型圖像復原問題模型，并以圖像修復為例，給出了實現方法。通過實驗，驗證了稀疏表示在圖像復原問題中的有效性。雖然稀疏表示已經在圖像處理中展現出良好的效果，隨著稀疏表示理論的研究深入，該方法還有很大的提升空間，尤其是稀疏編碼精度、字典表達能力等對圖像復原效果有重大影響。另外，處理速度也是其面向實際應用必需解決的問題。

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[3]李民.基于稀疏表示的超分辨率重建和圖像修復研究[D].西安:電子科技大學,2011:23-36.

[4]孫玉寶,韋志輝,肖亮,等.多形態稀疏性正則化的圖像超分辨率算法[J].電子學報,2010(12):2898-2903.

[5]薛模根.聚類字典下集中式稀疏表示的幻覺臉重建方法[J].系統工程與電子技術,2014(1):187-193.

[6]T.Chan,J.H.Shen.Mathematical models for local non-texture inpaintings[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2002(3):1019-1043.

Research of Sparse Representation-based Image Restoration Problem Model

ZHANG Lu-lu1,2，WU Yue-qin1，ZHANG Ting1,2

(1.Anhui Vocational College of Grain Engineering, Hefei Anhui 230011,China; 2.Anhui University,Hefei Anhui 230039,China)

A sparse representation model is complete after wavelet transformation and multistage geometric analysis, image representation theory is the most important theoretical results, bring new research idea to image processing. Under the model of typical image restoration problem, based on image restoration application examples, the model solving method and the simulation experiment,the experimental results verify the effectiveness of the sparse representation processing image restoration problem.

sparse representation; image restoration; dictionary to learn; complete dictionary

2016-09-28

安徽省教育廳2014年度高等學校省級質量工程項目“計算機網絡安全與管理專業綜合改革”(2014zy134)。

張璐璐(1983- )，女，講師，碩士，從事計算機教育與數據挖掘研究。

TP391；TN911.73

A

2095-7602(2017)02-0017-05