環(huán)擴張與(d,n)-余撓模及(d,n)-平坦模

武 斌

(蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術學院基礎學科部，甘肅蘭州 730070)

環(huán)擴張與(d,n)-余撓模及(d,n)-平坦模

武 斌

(蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術學院基礎學科部，甘肅蘭州 730070)

設R是環(huán)，本文討論了(d,n)-余撓模與(d,n)-平坦模在分式環(huán)上的若干性質(zhì)，并給出了這兩類模在Morita等價環(huán)上的等價刻畫。

(d,n)-余撓模；(d,n)-平坦模；分式環(huán)；Morita等價環(huán)

1 引言

本文中，所有的環(huán)是指有單位元的結合環(huán)，模指酉模.

分式環(huán)是環(huán)的一類重要擴張.本文討論了(d,n)-余撓模與(d,n)-平坦模在分式環(huán)上的若干性質(zhì).Morita等價環(huán)及該環(huán)上模的性質(zhì)被人們廣泛研究.2007年，Su[3]在Morita等價的環(huán)上對模的Gorenstein投射維數(shù)與內(nèi)射維數(shù)進行了討論得出：若環(huán)R≈S，則GpdRM=GpdSF(M),GidRM=GidSF(M).2012年，Yang[4]研究了Gorenstein同調(diào)維數(shù)在Morita等價的環(huán)上發(fā)生的變化.本文給出了(d,n)-余撓模與(d,n)-平坦模在Morita等價環(huán)上的等價刻畫，證明了：若R≈S，M是(d,n)-余撓右R-模當且僅當F(M)是(d,n)-余撓右S-模；N是(d,n)-平坦右R-模當且僅當F(N)是(d,n)-平坦右S-模.其中，所涉及的其它專業(yè)名詞和術語均來自于文獻[5-8].

2 環(huán)擴張與(d,n)-余撓模及(d,n)-平坦模

設··R是交換環(huán).如果1R∈S，且S關于R的乘法是封閉的，則稱環(huán)R的子集S是乘法閉的.設S是R的乘法閉子集.在R×S上定義關系～如下：對任何(a,s),(b,t)∈R×S，(a,s)～(b,t)當且僅當存在u∈S使得u(at-bs)=0.則～是R×S上的等價關系.令S-1R=(R×S)/～={a/s|a∈R,s∈S}.在S-1R上定義加法與乘法為：a/s+b/t=(at+bs)/st，(a/s)(b/t)=ab/st.則S-1R關于上面的加法和乘法構成環(huán).設M∈Mod-R，在M×S上定義關系～如下：對任何(x,s),(y,t)∈M×S，(x,s)～(y,t)當且僅當存在u∈S使得u(xt-ys)=0.

故～是M×S上的等價關系.令S-1M=(M×S)/～={x/s|x∈R,s∈S}，則S-1M關于運算x/s+y/t=(xt+ys)/st，(x/s)(y/t)=xy/st作成S-1R模，且S-1M?MR?S-1R.

引理1 設R是交換環(huán)，S是R的乘法閉子集.如果S-1R是投射R-模.則任意(d,n)-余撓S-1R-模是(d,n)-余撓R-模.

定理1 設R是交換環(huán)，S是R的乘法閉子集.如果S-1R是投射R-模，則對任意(d,n)-平坦R-模N，S-1N是(d,n)-平坦S-1R-模.

定理2 設R是交換環(huán)，S是R的乘法閉子集.如果S-1R是投射R-模，則對任意(d,n)-余撓R-模M，HomR(S-1R,M)是(d,n)-余撓S-1R-模.

3 Morita等價環(huán)與(d,n)-余撓模及(d,n)-平坦模

定理3 設R和S是等價環(huán)，F(xiàn):Mod-R→Mod-S和G:Mod-S→Mod-R是等價函子，則以下結論成立：(1)M是(d,n)-余撓右R-模當且僅當F(M)是(d,n)-余撓右S-模；(2)N是(d,n)-平坦右R-模當且僅當F(N)是(d,n)-平坦右S-模.

(充分性)由G(F(M))?M得證.

(充分性)由G(F(N))?N得證.

推論1 設R是環(huán)，e∈R是非零冪等元，如果ReR=R則有：(1)對任何右R-模M,M是(d,n)-余撓右R-模當且僅當M?RRe是(d,n)-余撓右eRe-模；(2)對任何右eRe-模M，M是(d,n)-余撓右eRe-模當且僅當M?eReeR是(d,n)-余撓右R-模；(3)對任何右R-模N，N是(d,n)-平坦右R-模當且僅當M?RRe是(d,n)-平坦右eRe-模；(4)對任何右eRe-模N，N是(d,n)-平坦右eRe-模當且僅當M?eReeR是(d,n)-平坦右R-模.

推論2 設R是環(huán)，n≥1是自然數(shù)，則有：(1)對任何右R-模M,M是(d,n)-余撓右R-模當且僅當M?RMn(R)eii是(d,n)-余撓右Mn(R)-模；(2)對任何右Mn(R)-模M，M是(d,n)-余撓右Mn(R)-模當且僅當M?Mn(R)eiiMn(R)是(d,n)-余撓右R-模；(3)對任何右R-模N，N是(d,n)-平坦右R-模當且僅當M?RMn(R)eii是(d,n)-平坦右Mn(R)-模；(4)對任何右Mn(R)-模N，N是(d,n)-平坦右Mn(R)-模當且僅當M?Mn(R)eiiMn(R)是(d,n)-平坦右R-模.

[1]MAO Lixin,DING Nanqing.Relative cotorsion modules and relative flat modules[J].Communications in Algebra, 2006(6):2303-2317.

[2]WU Bin.(d,n)-Cotorsion modules and (d,n)-flat modules[D].蘭州：西北師范大學，2008.

[3]宿維軍. Morita等價環(huán)上Gorenstein 投射維數(shù)與內(nèi)射維數(shù)[J].聊城大學學報：自然科學版, 2007(3):109-111.

[4]TANG Xiaoyan.Gorenstein homological dimensions and change of rings[J].Journal of Mathematical Research with Applications,2012(5):571-581.

[5]Enochs E E,Jenda O M G.Relative homological algebra[M].Berlin:de Grugter,2000.

[6]Osborne M S.Basic homological algebra[M].New York:Spring-Verlag,2003.

[7]Rotman J J.An introduction homological algebra[M].New York:Academic Press,1979.

[8]TONG Wentin.An introduction to homological algebra[M].Beijing:High Education,1998.

The Extension of Rings and (d,n)-cotorsion Modules and (d,n)-flat Modules

WU Bin

(Department of Basic Courses,Lanzhou Resources Environment College,Lanzhou Gansu 730070,China)

LetRbe any rings.The property of (d,n)-cotorsion modules and (d,n)-flat modules on rings of quotients are investigated, the equivalent descriptions of these modules on Morita Equivalence rings are given.

(d,n)-cotorsion module; (d,n)-flat module; rings of quotients; Morita Equivalence rings

2016-08-13

蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術學院自然科學基金資助項目“基于(d,n)-余撓模及(d,n)-平坦模的研究”(Z2015-11)。

武 斌(1982- )，女，講師，碩士，從事環(huán)的同調(diào)理論研究。

O153.3

A

2095-7602(2017)02-0008-03