帶有積分型邊值條件的n階邊值問題正解的存在性和唯一性

武 晨

(江蘇聯合職業技術學院南京分院，江蘇南京 210019)

帶有積分型邊值條件的n階邊值問題正解的存在性和唯一性

武 晨

(江蘇聯合職業技術學院南京分院，江蘇南京 210019)

本文主要考慮一個如下的n階邊值問題

u(n)(t)+λf(t,u)=0,t∈(0,1).

邊值條件為

其中，n≥2,λ為一個正參數。本文通過給出格林函數，利用復合單調算子定理得出上述邊值問題的存在性、唯一性結果。

積分型邊值條件；復合單調算子；格林函數

1 引言

非線性二階多點邊值問題正解的存在性因其廣泛的物理意義引起了眾多學者對其進行研究[1-8].孔令軍[6]研究了如下更一般的帶有積分型邊值條件的二階奇異邊值問題：

其中，λ是一個正的參數，作者通過復合單調算子理論得到正解的存在性、唯一性結果.

眾所周知，帶有積分邊界條件的邊值問題不僅包含了兩點、三點邊值問題，而且可以更精確地描述許多重要的物理現象，如熱傳導、地下水流、化學工程等.對于帶有積分型邊值條件的二階或者三階邊值問題已經有了很多結果，但對于帶有積分型邊值條件的高階邊值問題的研究結果相對較少.受以上文獻的啟發，筆者研究如下的n階奇異邊值問題：

其中，n≥2,λ>0是一個正參數，f:(0,1)×(0,+)→[0,+)是連續函數，ξ(s)和η(s)非減，(1.2)中的積分是Riemann-Stieltjes型積分,非線性項f(t,x)允許在t=0,1和x=0時奇異.邊值問題(1.1)(1.2)的正解，是指存在函數u∈C1[0,1]∩Cn(0,1)，使得當t∈(0,1)時有u(t)>0成立，且u(t)滿足(1.1)和(1.2).

2 一些定義和引理

這里給出本文中需要用到的一些定義和引理，為了方便起見，定義如下記號：

(2.1)

(2.2)

(2.3)

容易驗證M≥m≥0.在本文中假設如下條件成立：

(H1)M<1；

(H3)f(t,x)=w(t)(g(x)+h(x))，其中w:(0,1)→[0,+∞)為連續函數，g:[0,+∞)→[0,+∞)為連續非減函數，h:(0,+∞)→[0,+∞)為連續非增函數；

(H4)存在α∈(0,1)，使得g,h滿足：

g(kx)≥kαg(x).

(2.4)

h(k-1x)≥kαh(x).

(2.5)

而且當k∈(0,1)，x>0時，更進一步地滿足：

(2.6)

對任意固定的λ>0，記常數Cλ>1，使得：

(2.7)

令

(2.8)

引理2.1[4]對任何y(t)∈C[0,1]，邊值問題

有唯一解：

(2.9)

引理2.2[4]邊值問題

對應的格林函數為：

(2.10)

且格林函數G(t,s)滿足：

(2.11)

引理2.3 假設g∈L(0,1)，則方程u(n)(t)+g(t)=0,t∈(0,1)，對應邊值問題(1.2)有唯一解：

(2.12)

因此，該邊值問題的唯一解可以表示為：

(2.13)

(2.14)

引理2.5 假設(H1)成立，對于u∈X，f(·,u(.))∈L(0,1),u(t)是邊值問題(1.1)(1.2)的解,當且僅當u(t)是積分方程(2.14)的解.

為了證明定理，需要如下的復合單調算子的定義和引理.

定義2.1[7]假設T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ)，則T(x,y)對于x是非減的，對于y是非增的，則稱T(x,y)是一個復合單調算子，即對于x1,x2,y1,y2∈Pe(λ)，有x1≤x2,y1≥y2?T(x1,y1)≤T(x2,y2)，如果對于u∈Pe(λ)有T(u,u)=u成立，稱u∈Pe(λ)是算子T的不動點.

引理2.6[7]假設T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ)是一個復合單調算子，且存在α∈(0,1),使得T(ku,k-1v)≥kαT(u,v)，u,v∈Pe(λ)，k∈(0,1)，則T在Pe(λ)中有唯一的不動點.

3 主要結果

定理3.1 假設(H1)～(H4)成立，則對任何λ>0，邊值問題(1.1)(1.2)在Pe(λ)中有唯一的正解uλ(t).

g(x)≤xαg(1),x≥1.

(3.1)

g(k)≥kαg(1),k∈(0,1).

(3.2)

在(2.5)中，分別令x=1，x=k，有：

h(k-1)≥kαh(1),k∈(0,1).

(3.3)

h(k)≤k-αh(1),k∈(0,1).

(3.4)

對任何λ>0，u,v∈Pe(λ)，定義算子T:Pe(λ)×Pe(λ)→X，有：

(3.5)

由(H3)中g和h的單調性可知,Tλ是復合單調算子.

接下來將證明T:Pe(λ)×Pe(λ)→Pe(λ).令u,v∈Pe(λ),t∈[0,1]，則由(2.11)(3.5)和引理2.5可知：

由(2.1)(2.3)可知，

由(3.1)(3.4)可知：

(3.6)

(3.7)

則由(2.7)(3.6)和(3.7)有：

(3.8)

另一方面，由(2.11)(3.5)可知：

(3.9)

對于s∈[0,1]，由(2.1)(2.2)(2.3)可知：

由數學歸納法可知：

An(sn-1(1-s)n-1)≥mn,n=2,3,…,s∈(0,1).

從而由(3.9)可知：

由條件(H2)可知：

由(2.4)(3.2)和(3.3)，可知：

(3.10)

(3.11)

從而

(3.12)

由(3.8)(3.12)可知，T(Pe(λ)×Pe(λ))?Pe(λ).

對任何u,v∈Pe(λ),t∈[0,1],k∈(0,1)，由(2.4)(2.5)和(3.5)有：

(3.13)

這樣，引理2.6中所有條件就都滿足了，由引理2.6可知存在唯一的不動點uλ∈Pe(λ)，使得Tλ(uλ,uλ)=uλ，由(H3)(3.6)和(3.7)可知：

因此，f(·,uλ(.))∈L(0,1),由引理2.5可知，u(t)為邊值問題(1.1)(1.2)的唯一解.容易驗證uλ(t)>0，t∈(0,1)，即uλ(t)就是邊值問題(1.1)(1.2)的唯一正解.

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[8]武晨.帶有積分型邊值條件的奇異的n階邊值問題無窮多正解的存在性[J].淮北師范大學學報:自然科學版,2015(36): 14-17.

The Existence and Uniqueness of Positive Solution for nth Order Boundary Value Problems With Integral Boundary Conditions

WU Chen

(Branch of Nanjing Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing Jiangsu 210019,China)

integral boundary condition; mixed monotone operator; Green’s function

2016-04-19

武 晨(1985- )，男，講師，碩士，從事微分方程研究。

O175

A

2095-7602(2017)02-0001-07