深度內化：讓策略的價值潛入人心

顧憲聰

【摘要】著名數學家波利亞曾說過“所謂解決問題就是在沒有現成的解決方法時找到一條解決的途徑，就是從困難中找到出路，就是尋求一條繞過障礙的路，達到可以解決問題的答案”。學生究竟應該怎樣理解假設的策略？學習策略到底有哪些價值？結合筆者學校進行的“數學活力課堂”研究，我們認為應該重點聚焦、深度剖析怎樣讓學生從小主人的角度自主學習，通過學習的遷移，舉一反三等手段使學生結合原有知識結構并產生共鳴，內化為自己的知識，這才是有深度的內化，讓學生切身感受策略的價值。

【關鍵詞】 策略；假設；解決問題

最近筆者連續聽了三節六上《解決問題的策略》一課，每位執教老師都盡力讓學生經歷解決實際問題的過程，初步學會用假設的策略分析數量關系，確定解題思路，正確解決實際問題。我們都知道，感受假設的策略對于學生解決問題有著十分重要的價值，更能促使學生初步感悟一些基本的數學思想方法。但通過筆者的課后調查和個案分析，了解到學生雖能初步感受到策略的方法，但還只是浮于表面，是淺層次的認識，并沒有真正內化為自己的東西。

著名數學家波利亞曾說過：“所謂解決問題就是在沒有現成的解決方法時找到一條解決的途徑，就是從困難中找到出路，就是尋求一條繞過障礙的路，達到可以解決問題的答案”。新課程標準將解決問題作為一個重要目標——就是發展學生的創新精神和解決問題的實踐能力。不僅使學生學到知識，更重要的是使他們在錯綜復雜的情況中，利用所學的知識對具體問題作有條理的分析和預測，不再是固定的模型，而是靈活、富有挑戰的，去進行創造性思考、探索和解決。既有讓小學生用原有的知識，技能和方法遷移到課程情景中解決的新問題；也有從現實生活中提取的，通過數學模型，求解，假設，推理的實際問題。

那學生究竟應該怎樣理解假設的策略？學習策略到底有哪些價值？結合筆者學校進行的“數學活力課堂”研究，我們認為應該重點聚焦、深度剖析怎樣讓學生從小主人的角度自主學習。要通過學習的遷移，舉一反三等手段使學生結合原有知識結構并產生共鳴，內化為自己的知識，這才是有深度的內化，讓學生切身感受策略的價值。筆者認為應該分為這樣的四個層次——

一、讓學生初步感受——理解題意，激發策略

1.知識回顧，引發經驗

師：（出示一組題）你能快速地回答，并說說是怎樣想的嗎？

（1）小明把720毫升果汁倒入9個相同的小杯，正好倒滿，每個小杯的容量是多少毫升？

（2）小明把720毫升果汁倒入3個相同的大杯，正好倒滿，每個大杯的容量是多少毫升？

生：第（1）題是720÷9=80（毫升）；第（2）題是720÷3=240（毫升）。

師：你是怎樣想的？

生：我是根據“每杯的容量=總量÷數量”這個數量關系得到的。

2.理解題意，誘發策略

師：（繼續出題）這題一定也不會難倒你們的，請看——

（3）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

生：我知道小杯是720÷（6+3）=80（毫升），大杯是80×3=240（毫升）。

師：誰有不同的想法？

生：題目中沒有告訴我們“大杯是小杯的3倍”這個條件。

師：是啊，那想要解決這個問題該怎么辦呢？

生：那就應該再補充一個條件就可以解決。

師：（出示題目），你準備補充什么樣的條件？

（4）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

生1：小杯是大杯容量的。

生2：大杯容量是小杯的3倍。

生3：大杯容量是小杯的4倍。

生4：……

師：那我們就采用第一個孩子的條件，補充完整。

【設計意圖：課的開始老師先出示兩道題，分別求小杯和大杯的容量，一方面是調動學生已有知識經驗，找出題目中的數量關系，直接求出答案；另一方面故意設計第三道條件不完整的題目，既考驗了學生對題目的理解能力，同時還能激發學生內在的知識探究欲望，為下面的假設策略的提出做好鋪墊。】

二、讓學生深度感受——經歷過程，感悟策略

1. 主動建構，引出策略

師：現在你能獨立解決這道題目嗎？

（出示例題）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，已知小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

先看學習要求，再獨立完成。

2.充分交流，得出策略

師：好了嗎？誰愿意來分享你的智慧？

（1）把小杯替換成大杯；

師：你是怎樣想的？

生：題目中告訴我們“小杯的容量是大杯的，”也就是

“大杯容量是小杯的3倍”，所以我就把1個大杯換成3個小杯，那么現在一共就有9個小杯，就可以求出小杯：720÷（6+3）=80（毫升），大杯就是80×3=240（毫升）。

（2）把大杯替換成小杯；

師：能說說你的想法嗎？

生：我也是根據題目中“小杯的容量是大杯的，”也就

是“大杯容量是小杯的3倍”，所以我就把3個小杯換成1個大杯，那么現在一共就有3個大杯，就可以求出大杯：80×3=240（毫升），小杯就是720÷（6+3）=80（毫升）。

（3）列方程解決。

師：能給我們介紹下你的方法嗎？

生：我是這樣想的，題目中“小杯的容量是大杯的，”

也就是“大杯容量是小杯的3倍”，所以我就假設小杯容量為x毫升，那么大杯就為3x毫升，然后再列方程求出小杯和大杯的容量。

【設計意圖：假設的策略對于學生來說并不是一張白紙，他們在潛意識中已經或多或少的具有一些，所以這部分借助學生已有的知識經驗，特意安排學生自主探究學習的環節，讓他們在有效參與探索活動的過程中積累數學活動經驗，解決問題。通過交流，充分感受解決問題的策略。學生活動后，要組織學生有條理地交流自己的思考過程，不但要說清楚是怎樣替換的，還要說一說為什么可以這樣替換。這是在已有經驗的基礎上讓學生初步體會假設的優越性，喚醒他們“將不同的兩類量，利用它們的關系可以假設替換成同一類量”的潛意識。】

3.溝通聯系，感受策略

師：一起看黑板上的幾種方法，你有什么想說的？

生1：我知道這幾種方法都是把其中一種杯子換成另一種杯子，再進行計算的。

生2：我知道它們都是用了假設的策略。

生3：我還知道雖然小杯和大杯的數量在變化，但是果汁的總數沒有變化。

生4：……

師：大家的發現真了不起，雖然方法不同，但是我們都是把兩種未知量通過假設的策略轉換成一種未知量。

【設計意圖：一方面引導學生經歷從不同角度提出假設，找出答案的過程，另一方面引導學生對各種不同的方法進行比較，通過比較分析，引導學生積極主動地尋求解決問題的方法，并通過交流，切實理解每一種方法的合理性。真正讓學生體會到雖然各種方法的切入點不同，但本質上是一致的。從而幫助學生充分感受替換的方法、假設的策略，進而培養策略意識。】

4.重視檢驗，鞏固策略

師：通過大家的共同努力得到小杯和大杯的容量，那么這個答案到底對不對呢？

生：我們可以驗算。

師：你準備怎樣檢驗呢？

生1：要把結果代到題目中去檢驗。

生2：要看大杯和小杯的容量加起來是不是等于720毫升。

生3：還要看小杯容量是不是大杯的。

師：是的，自己試著去檢驗下結果是否符合題目的條件。

【設計意圖：新課程標準指出，要努力使學生“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神”。教學中，注重培養學生主動檢驗的習慣，并提出“回顧一下，剛才這個問題有什么特點，我們是怎樣來解決這個問題的呢？你覺得哪些步驟是解題關鍵？”引導學生既感受到用假設的策略可以解決什么樣的問題，又讓學生感受到面對一個問題有時會有多種策略的綜合運用。】

三、讓學生創新感受——回顧反思，體驗策略

1.回顧反思，總結策略

師：回顧解決問題的過程，你有什么體會？

生1：我知道通過假設可以轉化問題，使數量關系變得簡單。

生2：我要提醒大家在假設時要弄清數量之間的關系。

生3：我還知道假設時也可以用字母表示未知量，列方程解答。

2.聯系已知，體驗策略

師：在以前的學習中，我們曾經運用假設的策略解決過哪些問題？

（1）計算除數是兩位數的除法，把除數當成整十數試商。

（2）把接近整百或整十的數看作整百或整十數，估算出大致的結果。

（3）已知兩個數的和與差，假設兩個數同樣多，分別求出這兩個數。

【設計意圖：在六年級之前，我們學生已經掌握了不少的解題策略，而假設是一種全新的思維策略，當然學生對假設策略并不是很陌生，學生在這方面有一定的認知基礎和知識經驗。通過本課的學習，學生能夠學會運用“假設”的策略解決實際問題，提高學生尋找解決問題的思路，并能根據具體情況確定合理的解題步驟，以及根據條件進行檢驗，進一步培養學生的分析、綜合和解決問題的能力。】

四、讓學生創造感受——生活應用，親近策略

師：祝賀大家收獲滿滿，通過下面的練習我相信大家一定會有更多的收獲！

（1）3輛大貨車和4輛小貨車共運貨30噸，大貨車的載重量是小貨車的2倍。兩種貨車的載重量各是多少噸？（先完成下面的填空再解答）

（2）1張桌子和4把椅子的總價是2700元，椅子的單價是桌的。桌子和椅子的單價各是多少？

【設計意圖：當學生通過回顧與分析、變式與對比、感悟與體驗等渠道，初步歸納出假設策略的好處，即把兩種量與總量之間的復雜數量關系轉化為一種量與總量之間的簡單數量關系。隨著學習的深入，學生所遇到問題的類型在不斷變化，而解決這些不同類型問題的策略卻始終如一，學生對策略的運用越來越熟練，對策略的理解也越來越深刻，不斷體驗到假設策略的優勢——使復雜的問題簡單化，從而形成“化歸”的數學思想，這就是學生生活親近、體驗策略的價值。】

數學學習的最終目的是讓學生學會運用所學的知識去解決生活中的問題，讓學生在面對實際問題時，能主動嘗試從數學的角度出發，運用所學的知識尋找解決問題的策略。提高學生問題解決的意識，最有效的方法是讓學生有機會親身實踐。所以筆者認為，通過這樣的認識建構，學生學會解決問題理解策略，教師再進行引領、對話、分析和練習應用，使學生意識到假設的策略，從而再創造新的價值，并內化為自己的價值，最終在心目中扎根、開花并結果！