激活生長因子：從播種“符號”到收獲“模型”

【摘要】符號意識和模型思想是數學課程的兩個核心概念，它們之間有著重要的關聯，部分模型思想必須建立在學生有一定符號意識的基礎上才能順利形成。在小學數學教學中，系統性地培養好學生的符號意識有助于學生習得模型思想，兩者的共同發展將為學生的終身學習、可持續發展奠定基礎。

【關鍵詞】符號意識;模型思想;生長因子;代數

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）09-0033-03

【作者簡介】蔣碧云，江蘇省宜興市實驗小學（江蘇宜興，214200）教導處副主任，一級教師，無錫市教學能手。

學期末，教師需對卷面作詳細的總結和反思。六年級的數學教師一致認為整張試卷中這道填空題錯誤率最高，題目如下：用4個棱長都是a厘米的小正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積可能是（ ）平方厘米，也可能是（ ）平方厘米。學生的錯誤可以分為三類：（1）18和16或者18a和16a;（2）只填對一種;（3）一個都沒填對。其中第一種錯誤居然最多，約占錯誤人數的42%，這部分學生會用正確的思路解決這道題，卻不會用正確的方法來表示。大家都覺得不可思議，因為用含有字母的式子表示長方體或正方體相關結果的題型已經練習過很多次了。還有教師提出：用字母表示數量之間的關系時，學生屢做屢錯，讓人痛心！遇到稍復雜的問題解決時主動運用方程的學生不多，有的甚至還會列出（70+86）÷=x這樣的方程。

問題逐漸明朗，原因可以歸納為兩類：一是學生的符號意識薄弱;二是學生沒有真正掌握未知數參與列式的思維方式，潛意識里的算術思維根深蒂固。數學家羅素說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”那么，如何在學生的數學世界中播下“符號”這顆至關重要的“種子”，并讓這顆“種子”在我們的精心培育下生根、發芽、開花直至結果呢？筆者展開了一系列的探索和實踐……

一、啟動“文字語言”，喚醒“符號語言”的萌芽

數學的基本語言是文字語言、符號語言和圖像語言，文字語言是符號語言的基礎，低年級學生的思維活動在很大程度上還是與具體事物或其生動的表象聯系著的。因此，在教學時，要讓學生在理解的基礎上用自己的語言表述，在表述的過程中加深理解，哪怕是用不規范的語言甚至是雜亂無章的語言。

1.呵護“童言童語”，發掘教材中的“代數雛形”。

教學蘇教版一下“100以內的加法和減法（一）”單元時，教材中多次出現比較兩個算式結果的題型。

如：不計算，在○里填上“>”“<”或“=”。

4+75○75+4 58-4○58-40 82-50○72-40

3+66○30+66 69-6○96-6 75-30○57-30

不計算直接填答案，這對一年級的學生來說要求比較高，卻能為啟蒙學生的代數思維做好鋪墊，教師教學時不妨按照要求讓學生獨立思考后先填一填，教學重點則放在生生和師生的交流上。

兩道加法題蘊含著兩個代數雛形：一是“a+b=b+a”;二是“當b>c，則a+b>a+c”或“當bc，則a-b

教師首先要激發學生對數學符號產生需求感，又要讓學生對數學符號的抽象性、簡潔性有所領悟，并能通過觀察、歸納發現符號還具有一定的模型性。這種逐步展開的學習，會使學生對符號的意義和價值獲得更多的體驗和感悟，讓學生自覺地走進符號化的數學世界。

三、充盈“表示范疇”，感受“數學模型”的魅力

數學符號的學習必須經歷“感性—理性—運用”的過程。在問題解決的過程中，引導學生自覺地運用數學符號，靈活地、富有創造性地使用數學符號，是實現符號意識優化的有效途徑。在平時的教學中，應該有意識地為學生提供用符號的機會，逐步充盈符號表示的范疇，讓學生感受“數學模型”的魅力。

1.抓住契機，催生“數量”到“數量關系”的思維。

教學蘇教版四下《確定位置》時，教師可準備一些有挑戰性的題目或游戲。

如：“找寶物”游戲，請根據老師提供的條件，來找寶物的位置，但要用所學數對的知識來猜寶物的位置。

（1）（3，x） （2）（y，3） （3）（x，y） （4）x+y=5

通過條件（1）和條件（2），學生進一步了解字母可以表示一定范圍內的任何數，具有一般性的特征。這時就需要教師做出適當的引導，讓學生的思維進行一次飛躍。出示條件（3），學生發現這里的x和y可以表示任何數，那么每個格子中都可能有寶物，于是要求教師提供一個范圍，隨即出示條件（4），這時學生紛紛搶著找寶物并總結：列數+行數=5。

通過一個循序漸進的小游戲，教師及時抓住學生思考過程中產生的疑問，給學生提供了一個二元一次代數式，從用符號表示“數”到表示“數量關系”，使學生的思維得到了質的飛躍。

2.以“不變”應“萬變”，激起“歸納”到“模型”的需求。

代數中的函數思想以一種狀態確定地刻畫另一種狀態，其中變化的是“過程”，不變的是“規律”（關系）。教學中，教師要引導學生去發現規律，并能將規律用含有字母的式子概括出來，以“不變”應“萬變”，激起學生由“歸納”走向“模型”的需求。

如：一張長方形桌子可以坐8人（如圖1），兩張桌子拼起來可以坐12人（如圖2），n張桌子可以坐多少人？

如果只讓學生算人數，學生都能通過畫圖來解決，但用字母表示結果讓大多數學生望而卻步，教師不妨根據學生能達到的高度來逐步設計教學。

（1）觀察圖1和圖2，隨著桌子的增加，哪里的人數在變？哪里的人數沒有變？

（2）坐在長邊上的人數是怎樣變化的呢？

（3）可以怎么表示總人數呢？

根據學生的回答填好上表。

學生在觀察、比較、逐步歸納的過程中，提煉出了數與符號間的數量關系，以“不變”的數量關系來表示“變化”的“過程”，從而讓數學模型思想自然得到運用。

四、提升“符號精髓”，收獲“自主建模”的碩果

方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。如果學生已經具備了一定的符號意識，那么還要讓學生充分地體會方程的優勢，溝通不同解法的區別和聯系，提煉列方程解決實際問題的思考方法，自主構建用方程解決問題的模型。

1.尋找關系，自主建模。

現實世界中的許多數量關系都可以歸結為一種特別的“式”的相等關系。蘇教版六上“百分數”單元中有很多解決生活實際問題的內容，且六年級的學生已經掌握了等量關系，那么重點就要讓學生體會方程的優勢，并能主動列方程解決問題。筆者改編了書上的一些習題，生成了意想不到的效果：把納稅、利息和折扣練習中題目的條件和問題互換，使其變成單位“1”未知的題型，如根據稅率和營業稅求營業額、根據利率和利息求本金、根據折扣和現價求原價等，并形成了一系列對比練習。學生學習了相關內容后，對于這些現實中的數量關系駕輕就熟，很自然地就能想到用方程來解答。

2.把握關聯，感悟優勢。

從數學角度來看，算術思維是程序性的，側重于通過計算數量來求答案。而代數思維是結構性的，側重于關系的符號化及其運算。當學生運用代數思維受到局限時不妨用算術思維來幫助學生思考。如：教學蘇教版六下《比例尺的應用》，用倍數和份數的關系求實際距離學生比較容易掌握，但用方程來解答，學生很難想到，引導后依然不會列方程，究其原因，是學生找不到等量關系。不妨問學生：根據比例尺的意義，明華小學到少年宮的圖上距離和實際距離的比一定等于哪個比？生：1∶8000。師追問：你能根據這個等量關系列出一個含有x的比例嗎？這樣，既溝通了整個單元知識間的聯系，又引領學生把未知數與已知數一起參與列式，使他們逐步體會將實際問題“符號化”的優越性，進而發展代數思維。

在數學課堂上，如果我們能通過播種“符號”激活符號生長過程的各種因子，帶動模型思想的生成，也許能收獲意想不到的碩果。

【參考文獻】

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[3]王光明，范文貴.新版課程標準解析與教學指導[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競賽二等獎，有刪改。