全等三角形在初中幾何的重要性

王大鵬 劉君

幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科.它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切.最早的幾何學(xué)當(dāng)屬平面幾何.而平面幾何中最簡(jiǎn)單的圖形就是三角形，研究?jī)蓚€(gè)三角形之間的關(guān)系就顯得尤為重要.全等是兩個(gè)三角形最簡(jiǎn)單的關(guān)系.在人教版初中教材中，它具有著什么樣的地位呢？

全等三角形是初中幾何的重點(diǎn)，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ).全等三角形的教材地位處于初中數(shù)學(xué)人教版的第十二章.在整個(gè)初中階段，具有著承上啟下的重要作用.是一種證明邊或角相等的重要工具.全等三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定為研究三角形、四邊形、圓等平面圖形的性質(zhì)提供了一個(gè)重要的方法，可以這樣認(rèn)為，全等三角形在整個(gè)平面幾何中起著舉足輕重的重要作用.

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.正是由于全等三角形有著這樣的性質(zhì)，證明兩個(gè)三角形全等得到邊或角的等量關(guān)系才成為可能.教材中采用了探究方式讓學(xué)生體會(huì)兩個(gè)三角形全等的條件.

1.三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱SSS或“邊邊邊”），這一條也說明了三角形具有穩(wěn)定性的原因.

2.有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS或“邊角邊”）.

3.有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA或“角邊角”）.

4.有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS或“角角邊”）.

5.直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL或“斜邊直角邊”）.

從以上五條判定定理中可以發(fā)現(xiàn)，判定兩個(gè)三角形全等必須具備三個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等.只需要找到三個(gè)對(duì)應(yīng)元素相等就可以判定兩個(gè)三角形全等.可是這三個(gè)元素是任意的嗎？顯然不是，例如兩個(gè)三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等.那么就不能判定兩個(gè)三角形一定全等.那是不是對(duì)應(yīng)相等的元素越多越好，越多就一定能判定兩個(gè)三角形全等？如三邊長(zhǎng)分別為8，12，18和12，18，27的兩個(gè)三角形.

這兩個(gè)三角形是相似的，三個(gè)角分別相等，再加上有兩組線段相等，五個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等，可是這兩個(gè)三角形卻不全等.由此可見，判定兩個(gè)三角形全等只有以上五個(gè)判定定理！這五個(gè)判定定理構(gòu)建了整個(gè)初中幾何的基礎(chǔ).

在三角形全等的判定定理的基礎(chǔ)上，我們得以繼續(xù)研究角的平分線的性質(zhì)——角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，線段的垂直平分線的性質(zhì).

已知：如圖2，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上，求證：PA=PB.

因?yàn)镻是l上任意一點(diǎn)，所以得出線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.在研究等腰三角形的性質(zhì)：等腰對(duì)等角、“三線合一”時(shí)，也應(yīng)用到了三角形全等的證明.在證明勾股定理的逆定理時(shí)，全等三角形再次作為重要工具出現(xiàn).可見全等三角形的判定定理在研究特殊三角形或一般三角形時(shí)，都起著重要的作用.

全等三角形的判定定理在第十八章平行四邊形也是貫穿始終的.例如平行四邊形的對(duì)邊相等，平行四邊形的對(duì)角相等，都是利用證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出邊

既然全等三角形在初中幾何有著這么重要的作用，我們?cè)诮虒W(xué)過程中應(yīng)該注意哪些問題呢？“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”闡述的是學(xué)與思的重要性.在全等三角形這章，學(xué)生僅僅學(xué)會(huì)了如何判定兩個(gè)三角形全等不是我們的最終目的.我們應(yīng)該以全等三角形的教學(xué)為契機(jī)，傳授給學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的思維方式，尤其是圖形思維.我們應(yīng)高度關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動(dòng)，例如邊邊邊是如何判斷兩個(gè)三角形全等的.引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手去實(shí)驗(yàn)操作，去對(duì)比，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，讓學(xué)生自己體會(huì)知識(shí)從無到有的產(chǎn)生過程.這也體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體、以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想.

除了引導(dǎo)學(xué)生積極思考，激發(fā)他們熱愛科學(xué)、主動(dòng)探索的精神，我們還應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到兩個(gè)三角形全等的對(duì)應(yīng)美.圖形在旋轉(zhuǎn)、平移、翻折過程中保持形狀和大小都不變，不正是一種對(duì)應(yīng)美嗎！《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出新的理念：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.通過證明兩個(gè)三角形全等得到邊或角相等是一個(gè)“枯燥”的過程，如何把“枯燥”變“有趣”是我們永遠(yuǎn)追求的.使數(shù)學(xué)生活化是我們作為教育工作者應(yīng)該做的，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)與生活.數(shù)學(xué)是有用的，圖形是有生命的！而全等三角形在初中數(shù)學(xué)的重要地位可以讓我們有的放矢.通過它，可以提高學(xué)生們的推理論證能力和解決問題的能力.這一過程我們不能忽視，傳授知識(shí)的同時(shí)，傳授給學(xué)生終身受用的研究數(shù)學(xué)問題的重要思想和方法.

綜上所述，全等三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定定理可以被稱為整個(gè)初中幾何的核心與基礎(chǔ).既然如此重要，我們?cè)诮虒W(xué)中必須重視它.