一階中立型微分方程的反周期解的存在性

王志杰

【摘要】本文利用Krasnoselskiis不動點定理，可以使我們得到中立型微分方程反周期解的一些存在性定理，而且這些定理還可以進一步擴展并能提供給我們一些已知的重要結論.

【關鍵詞】中立型微分方程；反周期解；Krasnoselskiis不動點定理；存在性

【基金項目】《高等數學教學團隊》為2014年安徽三聯學院的基金項目，編號：14zlgc005

一、引言

反周期解一開始是用來解決物理問題的，而且還可以被我們引入并用來解決物理過程、工程學、神經網絡學，控制理論學等其他學科中的一些數學模型問題.（見1-30，參考文獻）據作者了解，幾乎很少有文獻能夠詳細地分析中立型微分方程的反周期解.所以本文中，我們將考慮如下中立型微分方程：

[u（t）-p（t）u（t-τ）]′=-q（t）u（t）+g（t，u（t-τ））.（1.1）

其中滿足q∈C（R，（0，+∞）），p∈C1（R，R），f∈C（R×R，R），τ>0且p，q均是以T為周期的函數，函數f又滿足條件f（t+T，x）=-f（t，x）.

本文的內容分布如下：在下面第二部分的內容中，我們首先引入一些定義和引理.在第三部分內容中，我們通過利用Krasnoselskii′s不動點定理，得到方程（1.1）式的以T為周期的反周期解存在的一些結論.在第四部分，我們會在第三部分內容的基礎上介紹一些實例，通過這些實例來進一步論證我們所得結論的可行性.

二、定義和引理

在這一部分內容中，我們將介紹一些定義、注釋，以及引理.

定義2.1（反周期函數）函數u（t），u∈C（R，R）若滿足u（t+T）=-u（t），則稱它為周期是T的反周期函數.

定義PT（R，X）={x：x∈C（R，R），x（t+T）=-x（t），t∈R}為反周期函數集合，且用符號‖x‖=sup{|x（t）|，t∈R}表示x的范數，很顯然，集合PT（R，X）為Banach空間.

設積分方程

x（t）=1p（t+τ）[x（t+τ）+∫t+τ+Tt+τG（t+τ，s）（p（s）q（s）x（s-τ）-f（s，x（s-τ）））ds].（2.1）

且滿足G（t，s）=exp∫stq（u）duexp∫T0q（u）du-1.

引理2.1u（t）是方程（1.1）的反周期解當且僅當u（t）是方程（2.1）的反周期解.

引理2.2（Krasnoselskiis不動點定理）.令X是一個Banach空間，Ω是X的一個有界閉凸子集，再設S1，S2是Ω到X上的兩個映射，還滿足對每一對x，y∈Ω，均有這樣一個組合S1x+S2y∈Ω.如果S1是壓縮的，S2是全連續的，則方程S1x+S2x=x在集合Ω上一定有解.

三、反周期解的存在性

定理3.1假設1

（p1-1）m≤p（t）x-f（t，x）q（t）≤（p0-1）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.1）

則方程（1.1）式至少有一個反周期解.

證明根據引理2.1，我們知道u（t）是方程（1.1）式的反周期解的充要條件是u（t）也是方程（2.1）式的反周期解.我們設一個集合Σ={x∈PT（R，X）：m≤x≤M}，很顯然這個集合是PT（R，X）的有界閉凸子集.下面再定義兩個算子：

所以，我們從（3.8）式和（3.9）式中得出{Φx：x∈Σ}在[0，T]上是一致有界和等度連續的.因此根據Ascoli-Arzela定理，（Φx）是列緊的.故由引理2.2，存在一個x∈Σ，使得這樣一個方程Φx+Ψx=x成立.故x（t）是方程（11）式的反周期解.證畢.

按照定理3.1的結論，我們可以得出下列三個結論和定理（3.1）結論相同的定理.

定理3.2假設滿足-∞

M-p1m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤m-p3M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.10）

則方程（1.1）式存在至少一個反周期解.

定理3.3假設滿足0≤p（t）≤p5<1，且存在不等式0

m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤（1-p5）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.11）

則方程（1.1）式存在至少一個反周期解.

定理3.4假設滿足-1

m-p6M≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.12）

則方程（1.1）式存在至少一個反周期解.

四、舉例

設一階中立型微分方程

x（t）-1+exp（cos2t）200x（t-3）′=

-110+cos2t20x（t）+34sin（x3（t-3）），（4.1）

滿足T=π，p（t）=1+exp（cos2t）200，q（t）=110+cos2t20，f（t，x）=34sin（x3（t-3）），τ=3.很容易看出這里的條件滿定理3.3中的要求，所以只要再找出一組適當的正常數m