洛必達法則的合理應用

隋姜昊

【摘要】本文全面闡述了如何使用洛必達法則，以及在使用的過程中存在的問題，并通過實例進行說明和分析.

【關鍵詞】極限；洛必達法則；數學

一、常規洛必達求解極限問題

L′Hospital法則（洛必達法則）：

設函數f（x）和g（x）在點a的某個去心鄰域U0（a，δ）內有定義，且滿足：

（1）limx→af（x）=0（∞）及limx→ag（x）=0（∞）；

（2）f（x）和g（x）在U0（a，δ）內可導，且g′（x）≠0；

（3）limx→af′（x）g′（x）=A（A為常數，或為∞），則有limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.

其中第三個條件極為重要.在求極限時，經常會遇到兩個無窮小量之比的極限或者兩個無窮大量之比的極限，這類極限有的存在，有的不存在，通常稱這種類型的極限式為未定式.以下是常見的情形.

二、分析并解決問題

（一）變形求解

洛必達法則作為如此重要的法則，是不是可以解決所有的問題，答案是否定的，例如limx→+∞e-1x2x100，使用洛必達法則，得到limx→+∞e-1x2200x102，看到這個式子，我們完全不能繼續進行計算，但通過觀察，運用換元法，易得令t=1x2，可以得到limx→0e-1x2x100=limt→∞t50et=0，上式是經過了簡單的變形，順利使用了洛必達法則求解問題.

以上的問題很顯然需要經過變形輔助求解極限，可以作為洛必達法則的變形分析，同樣可以運用這種方式求解limx→-∞x1+x2，分子分母同時除以x，可以求得如limx→-∞11+1x2=1.

（二）使用洛必達法則需謹慎

洛必達在求解極限問題時存在著較大的優勢.但洛必達法則是否是萬能的呢？

xx=limx→+∞1+cosx1，其極限不存在，那么可以得到不可使用洛必達法則.出現這種問題主要是由于求導后的式子無法求極限或者不能繼續使用洛必達法則.

三、總結

通過上述分析，洛必達法則使用時需要注意以下幾點：（1）滿足定理條件下的某些計算無法解決計算問題；（2）洛必達法則需要和其他數學方法進行結合使用，比如換元法，結合使用才能發揮作用；（3）被求極限的式子必須為未定式才可以使用洛必達法則；（4）若limf′（x）F′（x）不存在，不能使用洛必達法則.