三角形頂點與其對邊定比分點連線的一個性質及其應用

高振山

本文介紹三角形頂點與其對邊定比分點連線的三條直線的一個性質，以下簡稱“定理”（發現時間：2004年5月），這個定理給出了此三條直線的位置關系的判別，并且還給出了這三條直線所圍成三角形的面積公式.它有一定的應用價值，可以說它是塞瓦定理及其逆定理的推廣.

定理如圖，若D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的點（不在△ABC的頂點），并且D、E、F分別分有向線段BC、CA、AB的定比為λ1、λ2、λ3（即：BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3），則

（1）直線BE和CF相交（平行）1+λ2+λ2λ3≠0（1+λ2+λ2λ3=0）；

（2）直線CF和AD相交（平行）1+λ3+λ3λ1≠0（1+λ3+λ3λ1=0）；

（3）直線AD和BE相交（平行）1+λ1+λ1λ2≠0（1+λ1+λ1λ2=0）；

（4）若直線BE和CF交于點A′，直線AD和CF交于點B′，直線AD和BE交于點C′，則

S△A′B′C′=（1-λ1λ2λ3）2|（1+λ1+λ1λ2）（1+λ2+λ2λ3）（1+λ3+λ3λ1）|·S△ABC.

證明以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則B點的坐標為（0，0），設A、C的坐標分別為（a，b）、（c，0）（b>0，c>0），則S△ABC=12bc，并且由有向線所以由以上可得（4）成立.

（ⅱ）當三條直線AD、BE、CF至少有一者與x軸垂直時，同理可得（1）、（2）、（3）、（4）均成立.

推論1（塞瓦定理）若O為△ABC三邊所在直線外一點，直線AO、BO、CO分別與直線BC、CA、AB交于（異于△ABC頂點的）點D、E、F，則BDDC·CEEA·AFFB=1.

推論2（塞瓦定理逆定理）若D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的點（異于△ABC頂點的），且BDDC·CEEA·AFFB=1，則三條直線AD、BE、CF交于一點或互相平行.

推論3（塞瓦定理及其逆定理的推廣）已知D、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的點（不在△ABC的頂點），并且D、E、F分別分有向線段BC、CA、AB的定比為λ1、λ2、λ3（即BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3）.

（1）若三條直線AD、BE、CF交于一點或互相平行，則λ1λ2λ3=1.

（2）若λ1λ2λ3=1，則

①當1+λ1+λ1λ2≠0（AD和BE相交）時，三條直線AD、BE、CF交于一點；

②當1+λ1+λ1λ2=0（AD和BE平行）時，三條直線AD、BE、CF互相平行.