淺析∫+∞af（x）dx收斂與limx→+∞f（x）=0的關系

梁素萍

【摘要】在判斷limx→+∞f（x）=0是否成立時，有時應用直接辦法太復雜，我們也可以借助∫+∞af（x）dx的斂散性，再結合一些已知條件來判斷，常使復雜的問題簡單化.

【關鍵詞】收斂；發散；極限

預備知識

定義設函數f（x）定義在無窮區間[a，+∞），且在任何有限區間[a，b）上可積.如果存在極限limx→+∞∫xaf（t）dt=J，則稱此極限為函數f（x）在[a，+∞）上的無窮限非正常積分，記作：J=∫+∞af（x）dx.

同時稱∫+∞af（x）dx收斂.如果極限不存在，則稱無窮限積分發散.但∫+∞af（x）dx收斂時不能推出limx→+∞f（x）=0.

例如，∫+∞0sinx2dx=∫+∞0sint2tdt收斂，但limx→+∞sinx2≠0，看來只在∫+∞af（x）dx收斂的條件下不可能推出limx→+∞f（x）=0，下面給f（x）付加一些條件就可以推出limx→+∞f（x）=0.

（1）設∫+∞af（x）dx收斂，且limx→+∞f（x）存在，則一定有limx→+∞f（x）=0.

證明若limx→+∞f（x）為有限正數或無窮大，則都存在x0>a和c>0，使得當x>x0時，有f（x）>c，因此對A>x0有∫Aaf（x）dx=∫x 0af（x）dx+∫Ax0f（x）dx>∫x 0af（x）dx+c（A-x0）>+∞，這與無窮限積分收斂的條件矛盾，可見limx→+∞f（x）不可能是有限正數或無窮大，同樣可以證明limx→+∞f（x）也不可能是負數或負無窮大，因此得：limx→+∞f（x）=0.

（2）∫+∞af（x）dx收斂且f（x）在[a，+∞）上一致連續，則有limx→+∞f（x）=0.

證明（反證法）若x→+∞時，有f（x）不趨于0，則存在ε0>0，使得任意A>0，存在x1>A，有|f（x1）|≥ε0，又因為f（x）在[a，+∞）上一致連續，對ε02>0，存在δ>0，當|x′-x″|≤δ時，有|f（x′）-f（x″）|≤ε02，故當x∈[x1，x1+δ]時，有

|f（x）|≥|f（x）-f（x1）+f（x1）|≥|f（x1）|-|f（x）-f（x1）|≥ε02.

并且f（x）與f（x1）同號（因為不然的話，|f（x）-f（x1）|>ε0產生矛盾）.

若f（x1）>0，則f（x）>0，從而由上式得f（x）>ε02故

∫x 1+δx1f（x）≥ε02∫x 1+δx1dx=ε02δ.同理f（x1）<0，也有∫x 0+δx1f（x）≥ε02δ這就證明了對ε02>0，對任意A，存在x1+δ>x1>A，使得∫x 1+δx0f（x）≥ε02δ.

根據cauchy準則，即∫+∞af（x）dx發散，與假設矛盾.所以limx→+∞f（x）=0.

（3）∫+∞af（x）dx收斂且f（x）連續可微，且∫+∞af′（x）dx也收斂，則limx→+∞f（x）=0.

證明要證明x→+∞時f（x）有極限，根據Heine定理，我們只要證明對任意{xn}→+∞恒有{f（xn）}收斂，事實上，∫+∞af′（x）dx收斂，根據Cauchy準則，對任意ε>0，存在A>a以及任意x1，x2>A，∫x 2x1f′（x）dx=|f（x2）-f（x1）|<ε，

因此任意{xn}→+∞，存在N>0，當n，m>N時，有xn，xm>A，從而，∫x mxnf′（x）dx=|f（xm）-f（xn）|<ε.這表明{f（xn）}收斂，故由Heine定理推出limx→+∞f（x）=a，由（1）可知limx→+∞f（x）=a=0.

（4）∫+∞af（x）dx收斂，且函數f（x）在x≥0上有一階導數，|f′（x）|

證明|f′（x）|

（5）如果將函數f（x）變為單調，不僅有limx→+∞f（x）=0而且對“階”作了估計.

例∫+∞af（x）dx收斂，且f（x）單減，則有limx→+∞xf（x）=0.

證明首先有f（x）≥0，因為若存在某x1，使得f（x1）<0，則x>x1時，恒有f（x）

其次，由∫+∞af（x）dx收斂，知對任意的ε>0，存在A>a，當A″>A′>A時，有∫A″A′f（x）dx<ε2，故任意x>2A，有0

【參考文獻】

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