淺談“數(shù)形結(jié)合”思想在三角函數(shù)的應(yīng)用

王炳權(quán)+譚希麗

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如，銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的.

在三角函數(shù)這一章的學(xué)習(xí)中不僅要讓學(xué)生掌握特殊角的三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)關(guān)系，也要讓學(xué)生重點(diǎn)把握任意角終邊的位置、三角函數(shù)圖像以及三角函數(shù)線的應(yīng)用.接下來我將從以下方面來分析數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用：

一、在任意角中的應(yīng)用

在任意角的講解過程中，我們將角的范圍擴(kuò)大到任意角的范圍，同時(shí)也給出了一個(gè)新的單位制來度量角度——弧度制.我們知道角有始邊，有終邊.終邊的位置由旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向做決定，根據(jù)終邊位置的不同我們給出了象限角.在象限角中，我們經(jīng)常會(huì)碰到下面的題型.

已知角α是第二象限角，則角α2為第幾象限角（）.

A.第一象限角和第四象限角

B.第二象限角和第三象限角

C.第一象限角和第三象限角

D第二象限角和第三象限角

在這個(gè)問題的解題過程中，就可以通過終邊所在的范圍為第幾象限角來選擇.

∵π2+2kπ<α<π+2kπ，

∴π4+kπ<α2<π2+kπ.

根據(jù)角α2象限角的幾何圖形尋找終邊所在的位置如圖1中陰影部分所示.

二、在函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

三角函數(shù)的圖像是必須掌握的內(nèi)容，根據(jù)圖像我們一眼就能看出來函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性以及三角函數(shù)的最小正周期.而圖像是如何得到的，我們需要根據(jù)三角函數(shù)線的運(yùn)動(dòng)來得到的，以正弦函數(shù)為例.

正弦函數(shù)的幾何做法是在直角坐標(biāo)系中，在橫軸上找到一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑繪圓，通過角的終邊與單位圓的焦點(diǎn)構(gòu)造直角三角形.線段OB為角α的終邊，有向線段CB則為正弦線，根據(jù)正弦線的運(yùn)動(dòng)，就可以找到任意角對(duì)應(yīng)的函數(shù).因此找到正弦數(shù)的圖像如圖2所示.

三、求焦點(diǎn)的應(yīng)用

有一道關(guān)于正弦函數(shù)與正切函數(shù)在[0，2π]上有幾個(gè)焦點(diǎn)的填空題.這個(gè)問題很好地反映了三角函數(shù)的圖像是依據(jù)三角函數(shù)線得到的.如果忽略三角函數(shù)線的關(guān)系，三角函數(shù)在所畫的圖像中就會(huì)出現(xiàn)五個(gè)焦點(diǎn).在第一象限內(nèi)正切線的值都比正弦線的值大；在第二象限內(nèi)正弦線的有向線段的值為正的，而正切線的值為負(fù)的；第三象限的情況正好與第二象限的相反；第四象限正切線的值都比正弦線的值小；只有在正弦線和正切線的值都為0時(shí)，兩條線的大小相等，方向相同，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像有焦點(diǎn).在[0，2π]上有三個(gè)焦點(diǎn).所以兩函數(shù)的圖像畫的過程要注意焦點(diǎn).

在三角函數(shù)這一章中，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想，化簡(jiǎn)中需要注意角的范圍，體會(huì)每一象限中三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)；函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值問題，可以通過圖像來直接觀察；同樣的給出三角函數(shù)圖像，也能求出y=Asin（ωx+φ）中的振幅、周期以及初相.

總觀高中數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合的思想在高考中的應(yīng)用也是極其重要的.數(shù)與形的結(jié)合，形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，都會(huì)讓學(xué)生的解題能力得到一定的提高，同時(shí)教師也應(yīng)該在講課中，逐漸將數(shù)形結(jié)合的思想逐步滲透，從一開始就應(yīng)該注重函數(shù)圖像與解析式的結(jié)合，函數(shù)的基本性質(zhì)在圖像中的體現(xiàn)，層層滲透，讓學(xué)生更能準(zhǔn)確掌握該思想，運(yùn)用自如.充分把握高考中的一個(gè)重要思想.