平面向量基本定理的拓展與應用

李睿思

在平面向量內容的學習中，我們學到了一個重要定理叫平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ，μ，使a=λe1+μe2.定理說明了平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量表示出來，這為我們運用向量方法研究問題帶來了極大的方便.定理的一些基本應用在教材及習題中都有體現，同時在課外資料的學習中也了解到定理還可作一些拓展，而且拓展的結論也有很好的應用性.

推論1當向量OP與不共線的向量OA，OB的終點A，B位于同一直線上時，有OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

證明因為A，P，B三點共線，所以AP=mPB，

由AP=OP-OA，PB=OB-OP，

得OP-OA=m（OB-OP），

整理得（1+m）OP=OA+mOB，

于是有OP=11+mOA+m1+mOB.

令11+m=λ，m1+m=μ，

即得OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

特別地，當P為A，B中點時，則OP=OA+OB2.

例1△ABC中，D，E分別是AB，AC上兩點，AD∶DB=1∶3，AE∶EC=2∶1，連接BE，CD，線段BE，CD交于點P，連AP并延長與邊BC交于點F，求BF∶FC.

解設AB=a，AC=b，

由B，P，E三點共線，可設AP=xAB+（1-x）AE=xa+23（1-x）b，

由D，P，C三點共線，可設AP=yAD+（1-y）AC=14ya+（1-y）b，

可求得x=110，所以有AP=110a+35b.

又因為A，P，F在一直線上，

設AF=kAP=110ka+35kb，

而F是線段BC上的點，故可設AF=ma+（1-m）b，

從而可求得m=17，即AF=17a+67b，

因此BF∶FC=6∶1.

從例1的解答可以看到平面向量定理及其推論1在解決平面幾何線段相交問題時帶來很大的方便，擁有強大的解題功能和重要的應用價值，值得我們研究學習并掌握一些基本的運用.

在平面向量基本定理及其推論1的學習與研究中，除了得到，當P為AB中點時，則OP=OA+OB2這樣的特殊結論外，我們還發現其他一些特殊的結論.比如，若點P在線段AB上，且AP∶PB=2∶1，則OP=13OA+23OB；若點P在線段AB延長線上，且AP∶PB=2∶1，則OP=-OA+2OB.這種變化中的不變規律讓我想到幾個新的問題.

例4（2010年高考天津卷理）在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，則AC·AD=.

解∵|CD||BC|=3-13，

∴由推論2，得AC=（1-3）AB+3AD，

∴AC·AD=[（1-3）AB+3AD]·AD=3AD2=3.

例5已知△ABC，AB=2，AC=3，∠A的平分線AD與AB邊上的中線CM交于O，若AO=xAB+yAC，則x+y=.

解∵MOAC=13，

∴AO=34AM+14AC=38AB+14AC，

∴x+y=58.

例6△ABC中，M為AB邊上一點，P為CM上一點，CP=CAbcosA+CBacosB，|CM|=c2，a2+b2=22ab，求角C.

解設CP=xCA+yCB，則xy=BMAM=acosBbcosA，

∴CM⊥AB，∴S=12AB·CM=14c2=14（a2+b2-2abcosC）=12absinC，

∴sinC+cosC=2，∴C=π4.

從上述過程我們看到，從課本的定理出發，分析研究定理條件或結論的相關性，適當改變條件或結論的形態，研究是否存在值得探究的新問題，這是數學研究性學習的一個切入點與途徑，通過這種學習與研究，我們收獲的不只是推廣后的一些重要結論，更重要的是在學習經歷觀察事物、發現問題、探究問題、總結并歸納結論的過程中能力得到了提高，值得我們平時學習時關注與重視.

【參考文獻】

[1]楊曉青.平面向量分解定理及其應用[J].數學教學，2008（5）.

[2]謝星恩，林世中.平面向量定理的一個推論的應用[J].福建中學數學，2009（5）.