運用函數思想解決數學問題

吳思明

函數是高中數學最重要的概念之一，函數概念的出現，是人類思維從靜飛躍到動的必然.變量的觀點是函數的基礎，對應關系是函數的本質.函數思想是數學思想的重要組成部分，在高中數學中起到橫向聯(lián)系和紐帶聯(lián)結的主干作用.函數思想是函數概念、性質等知識更高層次的提煉和概括.構造函數是函數思想的重要體現，就是對于一個實際問題或數學問題，構建一個相應的函數，從而更加有效地解決問題.運用函數思想解決數學問題要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質.

縱觀高中的數學學習，如果我們能立足于函數的觀點來處理數學問題，便能深剖其本質，善于發(fā)現其內在聯(lián)系，并建立起良好的知識結構.函數的思想一旦為我們所掌握并靈活地運用它，使各方面知識相互滲透，解題時，思路將大大開闊，方法將更加靈活.下面簡單介紹一下運用函數思想來解決方程、不等式、參數的取值范圍等數學問題.

一、函數與最值問題

例3設z∈C，且滿足|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4，求d=|z|的最大值和最小值.

解設z=x+yi（x，y∈R），

則由|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4，

得到（x-2）2+y24=1，∴y2=4[1-（x-2）2].

∴d2=x2+y2=x2+4[1-（x-2）2]=-3x-832+283.

∵-1≤x-2≤1，即1≤x≤3.

于是，問題轉化為求d2=f（x）在閉區(qū)間[1，3]上的最值問題.不難看出.

當z=1時，dmin=1；當x=83，y=±253，

即z=83±253i時，dmax=2213.

解題分析：此題的解題關鍵是借助復數的代數形式設法轉化為關于復數z的實部x的二次函數來解決.

例4已知拋物線y=（x+1）2，直線y=x-1，求拋物線上的點到直線的最短距離.

解設（x0，y0）是拋物線上任意一點，它到直線y=x-1的距離為d.

d=|x0-y0-1|1+1，又∵y0=（x0+1）2代入，得

d=|x0-（x0+1）2-1|2=|x20+x0+2|2.

令m=x20+x0+2，據此拋物線的形狀，開口向上，Δ<0，

∴m恒為正，∴d=x20+x0+22，

∴問題轉化為求二次函數y=x20+x0+2的最小值為74.

∴dmin=742=728.

解題方法：求最大值、最小值問題關鍵是把握好函數關系，通過構造函數，使例題中條件與結論間的內在聯(lián)系充分暴露，并借助于函數（例如二次函數）圖像，利用其性質，通過數形結合來啟發(fā)學生的解題思路，使問題迎刃而解.

二、構造函數比較大小

例5比較log0.35與log0.34的大小.

解log0.35與log0.34可以看作對數函數y=log0.3x，當自變量x取5和4時，分別對應的函數值，根據0<0.3<1，根據對數函數y=log0.3x在（0，+∞）上是減函數的性質，得出log0.35

例6log20.3，20.3，0.32這三個數間的大小順序是（）.

A.0.32<20.3

B.log20.3<0.32<20.3

C.0.32<20.3

D.0.32

解在同一坐標系中，畫出y=2x，y=0.3x，y=log2x的圖像，

并找出yA=20.3，yB=0.32，yC=log20.3.

觀察圖像知log20.3<0.32<20.3，故選B.

解題關鍵：根據需要分別構造冪、指、對函數，根據函數圖像的單調性進行比較大小，此類題常與不等式知識相結合.

三、方程與函數（解方程f（x）=0就是求函數f（x）的零點）

例7已知方程x2+2px+1=0有一根大于1，一根小于1，求p的范圍.

解根據題意作二次函數y=x2+2px+1的草圖，如圖，當x=1時，y=1+2p+1=2p+2，

解題分析：方程與不等式，可看作是對函數值加的制約條件，滿足這個條件的變量的值就是方程和不等式的解，從例題可以看出，有些題的已知條件和結論間似乎缺少必然的聯(lián)系，如何設法跨越這道鴻溝，突破思維定式，關鍵通過尋找，建立函數關系作為輔助工具，化難為易，化繁為簡，這就是將難點轉化、尋求最佳方案的有效方法.

總之，在數學的學習中，應自覺運用函數的思想方法，對提高學生分析問題、解決問題的能力都有極大好處，有助于培養(yǎng)學生用運動、變化、聯(lián)系的觀點來解決問題的意識，增強學生對知識的橫向聯(lián)系，構造函數的思想就是利用知識的相關性將各部分知識融會貫通，相互轉化.可見，在解題中掌握一定的思想方法是不容忽略的，應給予重視，它將使學生的創(chuàng)造力得到發(fā)展，思維的靈活性得到提高，長此訓練下去，學生將受益終生.