淺談橢圓離心率的求法

徐學海

【摘要】在解析幾何中，有一類題型：關于如何求橢圓的離心率，一直以來困擾著廣大考生，很多考生內心都明白，欲求此題，則必先根據題意找出a與c的關系式.可難點在于如何有效地找出這樣的等式，為此，筆者通過下面例題，采用一題多解的方法來淺談如何求橢圓的離心率.

【關鍵詞】離心率；一題多解；等式

例如圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上、下頂點分別為A，B，右焦點為F，點P在橢圓C上，且OP⊥AF.若延長AF交橢圓C于點Q，若直線OP的斜率是直線BQ斜率的2倍，求橢圓C的離心率.

解法一（直線與橢圓相交，聯立方程組，利用韋達定理來求解）∵A（0，b），F（c，0），∴kAF=-bc.∵OP⊥AF，∴kOP=cb.

AF直線方程：y=-bc（x-c）.設Q（x1，y1），

由y=-bc（x-c），x2a2+y2b2=1，

化簡得（b2c2+a2b2）x2-2a2b2cx=0，Δ>0.

∴x1+xA=2a2ca2+c2，∴x1=2a2ca2+c2，∴y1=（c2-a2）ba2+c2.

∴Q2a2ca2+c2，（c2-a2）ba2+c2.

∴kQB=2bc22a2c=bca2.

∵kOP=2kBQ，∴cb=2bca2，即b2a2=12.

由題意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

解法二（結合本題，利用結論kAQ·kBQ=-b2a2來求解本題）由kOP=cb，

設Q（x1，y1）在橢圓上，且滿足x12a2+y12b2=1.

A（0，b），B（0，-b），kAQ=y1-bx1，kBQ=y1+bx1.

∴kAQ·kBQ=y12-b2x12=b21-x12a2-b2x12=-b2a2.

∵kAQ=-bc，∴kBQ=bca2.

∵kOP=2kBQ，∴cb=2bca2.即b2a2=12.

由題意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

解法三（利用直線AQ與直線BQ的交點Q在橢圓C上建立等式求離心率）AQ直線方程：y=-bcx+b.

∵kOP=cb，kOP=2kBQ，∴kBQ=c2b.

故BQ直線方程：y+b=c2bx.

由y=-bcx+b，y=c2bx-b，，解得x=4b2cc2+2b2y=bc2-2b3c2+2b2，

∴Q4b2cc2+2b2，bc2-2b3c2+2b2.

由點Q在橢圓上得16b4c2a2（c2+2b2）2+（c2-2b2）2（c2+2b2）2=1.

化簡得a2=2b2，即b2a2=12.

由題意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

上述三種解法分別從韋達定理、重要結論、點在橢圓上來建立a與c的關系式.綜合比較這三種解法，不難看出，第一種解法是通法，但解題步驟過于復雜且計算量大，很多考生不能準確做出答案.第二種解法主要涉及橢圓這部分內容里的一個重要結論，如果考生能記得該結論，相信會很快完成.第三種解法主要是由結論出發，利用點在橢圓上建立等式，但這種解法大部分考生不易想到且化簡計算量偏大，仔細比較之后，對于此類題型的求解，筆者有以下三點想法.

（1）一般情況下，通法是關鍵，這就要求考生在平時的學習中一定要加強常規方法的訓練，不要回避一些復雜的計算.

（2）對于高中數學中的一些重要結論，務必要在理解的基礎上加強記憶，以備后用！

（3）對于這一類題目的解題策略要勤思考，多動腦，試著從其他角度解決此題.

【參考文獻】

[1]李秉德，李定仁.教學論[M].北京：人民教育出版社，1991.

[4]張奠宙，李士.數學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.