在高中數學教學中妙用化歸思維

付小東

【摘要】在高中數學解題時，化歸思維往往能起到捷徑之效.化歸思維是把陌生的問題轉化為學生已知的知識，化繁雜的問題為簡單.在化歸思維的應用過程中，需要明確化歸目標，注意化歸前后的等價性.

【關鍵字】化歸；高中數學

在遇到難解問題時，需要借助他人的或自己的原有的經驗，化生為熟，這種思維方法就是化歸思維方法.無論在學習中、工作中，還是生活中，人們都或自覺或不自覺地運用著化歸思維，以舊解新，這是思維的常態，卻也是思維的獨到之處，往往能夠引起豁然開朗之感.化歸思維的實質是通過建立事物之間的聯系，在動態中解決問題.具體到高中數學，是通過真命題闡釋新命題，通過已明確概念定義未明確概念，通過已掌握的定理或公式處置未知問題，而新命題也好，未明概念也罷，抑或是未知問題，對其進行處置，都需要經過系列的轉換過程.羅莎·彼得是聲名顯赫的數學家，他對數學中運用化歸思維做了形象的描述，如果面前有水龍頭、水壺和燒水器具，是把水裝到水壺中，然后置于器具上燒水，但如果水已經裝到水壺中，那么作為數學家來說，應該把水倒掉，化為有水龍頭、水壺與燒水器具的時候.以下，通過例題具體闡述化歸思維在高中數學中的妙用.

例1對log143和log1413進行大小比較.

分析乍看此題，學生的想法多是利用計算器對log143和log1413進行求值，然后比出大小，只是在考試中，計算器的運用卻是被禁止的.解這道題，運用化歸思維是最恰當的，即把值的比較轉換為函數log14x的單調性，真數13和3只是單調線上的不同點.當01時，logax為單調增函數，log14x為單調減函數，3>13，所以log143

解答構造y=log14x這個函數，因為log14x為單調減函數，3>13，所以，log143

例2比較10099與99100的值大小.

分析與第一道例題相比，此題有兩點不同：一是比大小的兩個數皆為指數形式；二是兩個指數的底不同.解答此題，如同例題1一樣，運用計算器的方法會受到一定的限制，那么，構造函數利用單調性求解就成了唯一的方式，可是，底不同的兩個指數該如何構造函數？這是此題的關鍵之處，也是此題的難點所在.10099與99100的大小比較可轉換為lnab與lnba大小相較，這是此題第一次運用化歸思維，到此為止，依然不是能夠從單調性上實現大小比較的，只有實現底數與真數相同的形式方可，也就是說，lnx只是一個大致的方向，并不是確切的需要構造的函數答案.想要從lnab和lnba轉換為lnx，只能構造不等式，這是此題第二次運用化歸思維，假令lnab>lnba，那么blna>alnb，lnaa>lnbb，由此便可得出我們需要構造的確切的函數lnxx.通過解出lnxx的單調性，便可以在轉換過程中，求得問題的答案.由此可見，兩次歸化思維的運用只是為了求得一個確切的函數形式lnxx，lnxx就是化歸思維的目標.

解答令y=lnxx（x>1），求得當1e時，y是單調減函數，因為100>99>e，所以，ln100100

例3如果函數y=kx-4的值域為y≤2，定義域為1≤x≤3，求k的值.

分析此題在學生熟悉過大量的關于函數定義域與值域的求解習題之后，是難度不高的題目，只是運用函數的相關知識求解相對煩瑣，而且繞來繞去容易犯糊涂.其實，此題看似定義域與值域的相關問題，需要運用函數的知識求解，但是其實不必那么煩瑣，只要將函數轉換為等式方程，運用代入的方式，問題便迎刃而解，這是將函數問題歸化為方程問題求解.在學習了函數以后，學生慣于把一些難題都歸化到函數問題上求解，更不要說表象便是函數的問題了.但其實，函數在一些時候確實是最佳解法，在另一些時候卻不是，因為有比函數更簡潔的方法在，為什么先學方程后學函數，就是因為函數更為抽象與難度高.綜上，沒有固定的解法，只有更簡潔的解法，視情勢而為，才是最明確的選擇.

解答因為|k-4|=2，|3k-4|=2， 所以k=2.

由以上三題可以推知，化歸思維在數學解題時具有重要意義，能夠化繁雜為簡單，把看著不同的問題聯系起來，把看似相同的問題區別開來，這是有效解題的可行思維方式，只是在具體過程中，還是有一些需要注意的問題，比如尋找化歸目標、確保轉換前后等價，如果目標尋找不恰當或失誤，轉換前后發生了條件的疏漏，則會導致錯解.所以，教師需要多收集相關題目，對學生的化歸思維進行訓練，讓學生實現自如應用.

【參考文獻】

[1]楊金慧.論數學中的化歸思想[J].考試周刊，2013（78）.

[2]凌健.化歸思想在數學解題中的應用[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2008（2）.