“一題二解，孰對孰錯？”討論

羅珊珊+趙臨龍

《數學通訊》在“爭鳴”欄內，給出問題244：一題二解，孰對孰錯？

問題已知不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集為[a，b]，則a+b的值為.[1]

文[1]給出問題的2種解法，但結果大不相同.作者指出：“問題到底出在哪里，究竟孰對孰錯？”現將2種解法列出如下.

解法一設f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1.

如果a<2

所以a=1，（f（x））max=max（f（1），f（b））=b，

解得b=4，此時a+b=5；

如果2

所以f（a）=a，f（b）=b，a，b為方程34x2-3x+4=x的兩個根，所以a+b=163；

如果af（b），所以f（a）=b，f（b）=a，

得到34a2-3a+4=b，34b2-3b+4=a，

兩式作差，得到a+b=83.

綜上，a+b可能的值為5，163，83.

解法二設f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1，它的圖像為一條拋物線，畫兩條與x軸平行的直線y=a，y=b，如果兩直線與拋物線各有兩個交點，得到解集應該是兩個區間，而此不等式的解集為一個區間，所以兩直線不可能都與拋物線有兩個交點，即y=a與拋物線只有一個交點或者沒有交點（即a≤1），而y=b應該與拋物線有二個交點（即b>1），且滿足f（a）=f（b）=b.

由f（a）=f（b）=b，得到

34a2-3a+4=34b2-3b+4=b，

解得a=0，b=4，所以a+b=4.

現在，對解法二進行討論.

設f（x）=34x2-3x+4=34（x-2）2+1≥1，則（f（x））min=a≥1.（并不是文[1]的結論a≤1）

1.如圖.當a=1時，對于1=a<2

1=a=（f（x））min<（f（x））max=max（f（a），f（b））=max（f（1），f（b））=b.（1）

由f（1）=34+1=74（1=a<2

由f（b）=34b2-3b+4=b，求得b=43或4，

則（f（x））max=max（f（1），f（b））=b=4.

于是，a+b=1+4=5.

2.如圖.當a>1時，對于1

1

此時，由a=34b2-3b+4，b=34a2-3a+4，得到：

a-b=-34（a-b）（a+b）+3（a-b），

則a+b=83（1

3.如圖.對于2

1

此時，由a=34a2-3a+4，b=34b2-3b+4，得到：

a-b=34（a-b）（a+b）-3（a-b），

則a+b=163（2

由此，說明解法1是正確的，而解法2有誤的原因，是錯誤地將a限定在“a≤1”內.

此時，當a<1時，除滿足文[1]的條件f（a）=f（b）=b外，還要滿足條件（文[1]沒有考慮）x=a=b（這是不可能）.由此，解法2有誤.

【參考文獻】

[1]江保兵.爭鳴[J].數學通訊，2016（4）：38.