數形結合在不等式中的應用

徐珍

【摘要】“數形結合”這一貫徹在高中數學教學始終的解題思想方法，其本質是“數”與“形”之間的相互轉換.在高中數學教學中，通過有效的“數形結合”思想方法的運用可以使學生在學習過程中繞過障礙.同時，有效的“數形結合”使代數問題得以用幾何來詮釋，體現出神奇的數學之美以及思維的靈活之美，在一定程度上使許多復雜問題簡單化、明了化.

【關鍵字】數形結合；不等式

一、數形結合的理論基礎

數學中的兩個最基本也最古老的研究對象就是“數”與“形”，它們在一定條件下可以相互轉化.恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學.”我國著名數學家華羅庚也曾說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事非.”可見，“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性.本文主要從數形結合在證明不等式方面研究.

二、數形結合在不等式中的應用

近年的高考強調不等式基礎知識考查的同時，也很注重數學能力的考查和數學思想方法的應用，其中數形結合思想方法的應用不可忽視.

（一）利用數形結合證明不等式

例1求證：a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.（a與c，b與d不同時相等）

分析考察不等號兩邊特點，其形式類同平面上兩點間距離公式.在平面直角坐標系中設A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如圖1，AB=（a-c）2+（b-d）2，

|AO|=a2+b2，|BO|=c2+d2.

當A，B，O三點不共線時，|AB|<|AO|+|BO|.

當A，B，O三點共線，且A，B在O點同側時，|AB|<|AO|+|BO|.當A，B，O三點共線，且A，B在O點異側時，或A，B之一與原點O重合時，|AB|=|AO|+|BO|.綜上可證a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.

例2求證：x2+1+x2-4x+8≥13.

分析考察式子特點，借助兩點間距離公式，可化為x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2.

令A（0，1），B（2，2），p（x，0），則問題轉化為在x軸上求一點p，使|PA|+|PB|有最小值.如圖2，由于AB在x軸同側，故取A關于x軸的對稱點C（0，-1），故（|PA|+|PB|）min=|CB|=（2-0）2+（2+1）2=13，所以原不等式成立.

例3sinx-1cosx-2≤43.

分析本題是分式，其結構類似斜率公式，因此可視此式為定點Q（2，1）與單位圓上的動點P（cosx，sinx）連線的斜率.如圖3，當PQ與單位圓相切時，切線的斜率取值就是所求函數的最值.由0≤k≤43，得ymin=0，ymax=43.

例4已知a，b∈R+且x2+ax+2b=0，x2+2bx+a=0都有實根，證明：a+b≥6.

解依題意得

a2-8b≥0，b2-a≥0，

即a2≥8b，b2≥a.（*）

則滿足（*）的點（a，b）在如圖4所示的陰影區域內.

設z=a+b，則z=a+b所表示的直線系中，過點A（4，2）的直線在b軸上的截距即為滿足（*）的z的最小值.

所以（a+b）min=4+2=6，故a+b≥6.

（二）利用數形結合解不等式

例5已知x，y滿足x2+y2-2y=0，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求實數c的取值范圍.

分析欲使x+y+c≥0恒成立，

即-c≤x+y恒成立，

故-c≤（x+y）min.于是問題轉化為求x2+y2-2y=0上有一點，使得x+y取得最小值，當直線l1平行于x+y=0且與圓x2+y2-2y=0相切于下方時（如圖5），取得最小值1-2，故-c≤1-2，從而c≥2-1.

例6求使不等式log2（-x）

解設f（x）=log2（-x），g（x）=x+1.

因為函數f（x）=log2（-x）的圖像與函數y=log2x圖像關于y軸對稱，g（x）=x+1的圖像是一條過點（0，1）的直線，由圖6可得-1

三、結論

本文主要講述了數形結合在不等式中的應用.由于“形”的引入，使得數字變得形象生動，變得有生命力.在很大程度上簡化了計算的過程和思維過程.然而數學思想方法教學并不是一個單一的過程，各種思想方法是相互聯系，相互滲透，往往數學思想、方法交織在一起.在解題的過程中依據具體情況選擇最恰當的方法，也許效果會更好.

【參考文獻】

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