根與零點之間的轉換

宋元明

【摘要】本文主要圍繞函數的零點的基礎求解出發，將函數零點運用到不同的方面，包括方程的根、函數的定義域以及不等式等方面.作為函數的重要性質，它把函數、方程、不等式緊密地聯系起來.函數的零點個數，零點范圍以及零點的參數問題是常見的求解問題，本文對這些方面進行運用并進行綜合分析.結合數形結合、等價轉化、函數與方程等思想求解問題函數零點的問題.

【關鍵詞】函數零點；方程的根；單調性

一、基礎知識

方程的根與函數的零點：

1.函數零點的概念：對于函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x做作函數y=f（x）（x∈D）的零點.

2.函數零點的意義：函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數根，亦即函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標.即，方程f（x）=0有實數根函數y=f（x）的圖像與x軸有交點函數y=f（x）有零點.

3.函數零點的存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

關于函數零點的運用問題經常要聯系導數研究函數的性質，其中單調性作為函數的核心性質，通過對單調性的研究進而解決零點問題，對于含有參數的函數可以運用分離變量等方式進行解決問題.下面主要歸納函數零點的應用.

二、判斷函數的零點根的分布情況

例1（2013年福建高考文科22）已知函數f（x）=x-1+ae-x（a∈R，e為自然對數的底數）.

（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（2）求函數y=f（x）的極值；（3）當a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值.

解析如下：

（1）由f′（1）=0易得a=e，（2）略.

（3）直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于方程kx-1=f（x）無解，構造函數g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+1ex，于是等價于函數g（x）在R上沒有零點，下面可以有兩種處理方法.

方法一分離參數.根據定理1的推論4知：方程g（x）在R上無解等價于（k-1）x=1ex在R上沒有實數解，當k=1時，方程1ex=0顯然無解當k≠1時方程可化為1k-1=xex，構造函數h（x）=xex，由h′（x）=（1+x）ex=0.得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，h′（x）<0，當x∈（-1，+∞）時，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，-1）單調遞減，h（x）在（-1，+∞）單調遞增，所以hmin（x）=h（-1）=-1e，且當x→+∞時，h（x）→+∞，所以h（x）的取值范圍是-1e，+∞所以當1k-1∈-∞，-1e時，方程無解，所以k的取值范圍是（1-e，1）綜上可得k的取值范圍是（1-e，1]，所以k的最大值為1.

方法二不分離參數.假設k>1此時g（0）=1>0，g1k-1=-1+1e1k-1<0.

又函數g（x）的圖像是連續不斷的一條曲線，根據上述定理可知方程g（x）=0在R上至少有一解，與“方程g（x）=0無實數解”矛盾，故k≤1，又當k=1時，方程1ex=0顯然無解，所以k的最大值為1.

例2判斷函數f（x）=|log2（x+1）|+x-1的零點個數.

分析運用方程的思想和數形結合的思想，將原問題轉換為函數y=|log2（x+1）|與函數y=-x+1圖像交點問題.

根據圖像可以得到函數的零點個數為2.

判斷函數的零點個數常用的方法有：（1）直接求解；（2）結合單調性和極值，轉換為判斷函數圖像穿過x軸的次數；（3）對于復雜函數轉換為求兩個函數圖像交點問題.

三、函數零點與函數的定義域

例如，求函數y=x2+5x-6的定義域，需要計算函數f（x）=x2+5x-6的零點，從而求解函數的定義域.

四、函數零點與不等式求解證明

證明：當x>0時，ln（1+x）

證明構造函數F（x）=ln（1+x）-x，則F′（x）=11+x-1.當x>0時，F′（x）<0，F（x）單調減少，則F（x）

同理可以證明當x>0時，ex>1+x，這是常有不等式，一般出現在高考的證明中.

這是將方程思想和函數零點的思想結合，同時和函數的單調性相關，從而求解不等式或者證明不等式.

五、總結

函數零點的應用范圍廣，其中包含了方程的根求解、不等式以及函數等多個方面，整合了數學的方程求解思想，數形結合、轉化與化歸思想，主要是運用等價關系和零點存在定理進行計算求解或證明問題.