證明特殊數列和式不等關系初探

孟鉉濟

【摘要】文章以已知數列為例，求證較為復雜的數列和式的不等關系，常規做法在解決問題時需要對原數列有一個較煩瑣的構造，思維過程較為復雜，若采用特殊的放縮法，解題思維過程將變得簡潔.

【關鍵詞】數列和式；不等關系；證明

例1已知：a1=12，an=1（n+1）！.

求證：a1+a2+a3+…+an<1.

常規做法：

∵an=1（n+1）！=1（n+1）·n·（n-1）·…·3·2·1<1（n+1）n=1n-1n+1，

∴a1+a2+a3+…+an<1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1<1.

證明方法并不算復雜，經仔細研究，還能啟發我們解題思路.任意給定一個真分數m，加上一個真分數m1，再加上一個真分數m2，…，若使mn滿足相應的條件，總能證明他們的和小于一個常量.通過將mn與以上不等式左側進行逐項比較，解題思路就清晰了.

這樣可能過于抽象，我們不如從一個經典的模型談起.《莊子》中有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法，這也相應了數學上的極限思想.假設我們現在要分割一個面積為1的正方形，每次取得它剩余面積的12，由“萬世不竭”可知，我們所取得的面積恒小于1.如果每次取得的量與總剩余面積的比值相等，不一定是12，也容易得出取得面積之和恒小于1.下面用不等式來描述以上關系：

設每次取得剩余部分為X（X∈（0，1））；

那么第一次將取得的面積：X.

第二次：（1-X）·X；

第三次：（1-X）·（1-X）·X；

……

第n+1次：（1-X）n·X.

可得不等式A：X+X（1-X）+X（1-X）2+X（1-X）3+…+X（1-X）n<1.

A這個不等式是通過幾何觀察得到的，證明方法如下：

∵X∈（0，1），∴X<1，1-X﹥0，

兩邊乘（1-X），得X（1-X）<1-X.

兩邊加上X，得X+X（1-X）<1.

兩邊再乘（1-X），得X（1-X）+X（1-X）2<1-X，

X+X（1-X）+X（1-X）2<1，

……

不斷對不等號兩側先乘（1-X），再加X；因為X∈（0，1），不等號不改變，即可推出不等式A.若將不等式A作為已知，就得到證明開頭問題的新思路，具體如下：

∴2k2k+4的值隨著k的增大而增大，1（k+1）2的值隨著k的增大而減小，且k=3時，2·32·3+4>1（3+1）2，

∴2k2k+4>1（k+1）2（k≥3），ak+1

∴an

通過對比方法1與方法2，可以發現，對于較為復雜的數列和式，常規放縮在解決問題時需要對原數列有一個較煩瑣的構造，思維過程較為復雜.相比之下，若先完成對不等式A的證明，只需要再對A中的X賦值即可.實質上這也是一種特殊的放縮法，但解題思維過程較為簡捷.