高考中三類解析幾何問題解析

吳小麗+湯強

解析幾何是高考必考內容之一，要解決這類問題一定要注重通性通法，深入理解轉化思想和數形結合思想，將題目的條件準確翻譯成數學語言和圖形語言，讀出題目的弦外之音，悟出命題意圖.因此，解析幾何的教學，不但要讓學生學會幾何元素的代數表示及代數方程的幾何含義，而且應通過建立幾何與代數之間的聯系，幫助學生建立普遍聯系的觀念，拓展學生看問題的視野.從這個意義上講，解析幾何的教育價值是通過坐標法下幾何與代數統一性的認識，幫助學生建立普遍聯系的辯證觀念，在運用代數方法研究幾何問題的過程中，拓展學生分析、解決問題的能力.

一、軌跡問題

解析幾何解答題每年高考固定要考一題，其中曲線軌跡問題的探求在高考中出現的頻率最高.此類問題的解題步驟通常是通過建立直角坐標系、設出動點的坐標、依題設條件列出方程、代入化簡整理即得曲線的軌跡方程.基本方法有定義法、待定系數法、參數法、相關點法等.求曲線方程是解析幾何的基本問題或首要問題，通過求曲線方程可以考查曲線與方程及直線的概念與性質、圓錐曲線的定義與性質、直線與圓錐曲線的關系等基本知識，考查選擇適當的坐標系求軌跡方程的解析幾何思想，以及求軌跡方程的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力，所以求軌跡方程仍然是經久不衰的高考熱點.求軌跡方程的常見題型是曲線形狀不明確或不便于用標準形式.

例1（2014年廣東卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

解（1）由題意知，c=5，ca=53，

∴a=3，b2=a2-c2=9-5=4，

∴橢圓C的標準方程為x29+y24=1.

（2）若x0=±3，則點P到橢圓C的切線中有一條斜率不存在，由于兩切線垂直，則另一條切線斜率必為0，∴y0=±2.

∴點（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）在所求軌跡上.

當點P到橢圓C的切線斜率存在且不為0時，

設切線方程為l：y-y0=k（x-x0），

聯立方程x29+y24=1，y-y0=k（x-x0），

消去y，整理得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，由于直線l與橢圓C相切，

∴Δ=182k2（kx0-y0）2-4（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，整理，得（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0，

又因為兩條切線垂直，∴k1k2=y20-4x20-9=-1，

∴有x20+y20=13，點（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）也滿足x20+y20=13，

故動點P的軌跡方程為x2+y2=13.

二、定值問題

在高考中經常出現探討定值的問題，可以為證明題，也可以為解答題.求定值的基本方法是：先將變動元素用參數表示出來，然后計算出相應結果與該參數的取值無關；也可以將變動元素置于特殊情況下，猜想出定值，然后再予以證明.通常需要與代數、三角函數等相關知識相結合，注意轉化思想、數形結合思想、韋達定理及點差法等“設而不求”的數學思想方法在解題中的靈活運用.其中若涉及“中點弦”或“弦中點”以及求解與斜率有關的問題，經常使用“韋達定理”或者“點差法”求解，可避免直線與橢圓方程聯立，減少計算量.

在這個前提下進行邏輯推理，也可以直接用韋達定理根據已知的等量關系建立參量的方程，再利用判別式等限制條件求值或說明與假設矛盾，注意在求出值時，一定要從范圍上進行驗證是否成立，從而解決此類存在性問題.

例3（2007年寧夏卷）在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q，其中k∈-∞，-22∪22，+∞，設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由.

解設P（x1，y1），Q（x2，y2），則OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），

設直線l的方程為：y=kx+2，由x22+y2=1，y=kx+2，

得12+k2x2+22kx+1=0，

∴x1+x2=-42k1+2k2，

y1+y2=221+2k2，

又A（2，0），B（0，1），∴AB=（-2，1）.

假設向量OP+OQ與AB共線，則x1+x2=-2（y1+y2），

即-42k1+2k2=-2·221+2k2，

∴k=22，與k∈-∞，-22∪22，+∞矛盾，

故不存在滿足條件的k.

上述簡單的例子說明了，數形結合、函數思想、轉化與化歸、韋達定理及點差法等數學思想方法在解決平面解析幾何中軌跡問題、最值與定值問題、取值范圍問題、存在性問題等的重要性.根據解析幾何“小題靈活，大題綜合”的特點，備考時應注重通性通法，強化數形結合意識、設而不求意識、轉化意識，從一個高視角全面地看待問題，進而解決這類高考中綜合性較強的解析幾何問題.

【參考文獻】

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[5]陳中峰.體現解析幾何核心內容及教育價值的高考試題賞析[J].中學數學，2013（11）.

例2（2015年全國卷Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸.l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

解設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由y=kx+b9x2+y2=m2，

消去y，整理得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，

∴x1+x2=-2kbk2+9，y1+y2=k（x1+x2）+2b=18bk2+9.

∴xM=x1+x22=-kbk2+9，yM=y1+y22=9bk2+9.

∴直線OM的斜率kOM=yMxM=-9k，

∴kOM·k=-9k·k=-9.

故直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

三、存在性問題

判斷存在性問題是指判斷在某些確定條件下的某一數學對象是否存在或某一結論是否成立的探索性問題，解決這類問題通常假設題中的數學對象存在或結論成立，然后