二次函數在高考壓軸題中的應用

劉代平

【摘要】在高考數學中，對于二次函數相關知識的考查越來越多，許多高考壓軸題都是關于二次函數的問題，在全國新課標Ⅱ卷中，對于二次函數的考查內容也非常多，所以二次函數的學習對于高考有著非常重要的意義，因此本文就二次函數在高考壓軸題中的應用進行了一定的研究.

【關鍵詞】二次函數；高考；壓軸題

在高中數學中，函數是一個非常重要的內容，在近些年的高考中，函數綜合性問題常常以壓軸題的形式出現，而且考查的方式也較為靈活，而二次函數作為函數中的一個重要內容，它與不等式、解析幾何、數列及復數等都有著密切的聯系，所以對二次函數在高考壓軸題中的應用進行研究有著非常重要的意義.

一、高考數學試題分析

本文主要針對近兩年高考新課標Ⅱ卷的數學試題進行分析，通過對于高考試卷的解析來探求二次函數在高考數學中的具體應用.以2015年文科試卷第15題為例，題目如下：

例1已知雙曲線過點（4，3），且漸近線方程為y=±12x，求該雙曲線的標準方程.

這道題目實質上是考查的解析幾何的知識，但是我們知道雙曲線標準方程實質上也是一個二次函數，所以該題目實質上也考查了二次函數的相關知識.在解答這道題目的過程中，不妨先判斷雙曲線焦點的位置，因為雙曲線過點（4，3），而點（4，3）又在漸近線y=12x的下方，所以可以判斷雙曲線的焦點是位于x軸上的，這時可以設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1，其中a，b均大于零，那么該雙曲線所對應的漸近線方程就應該為y=±bax，由已知條件可知ba=12，然后再將點（4，3）的坐標代入所設的標準方程，不難得到16a2-3b2=1，再由ba=12可以解得a=2，b=1，最終求得該雙曲線的標準方程為x24-y2=1.這道題目對于解析幾何的相關知識進行了考查，但是所考查的內容較為基礎，所以在高考數學中，必須要注重對于基礎知識的掌握和應用.

例2設函數f（x）=emx+x2-mx.（1）證明f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；（2）若對于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

這道題目考查函數的單調性和最值的應用，其中第一道題目相對較為基礎，而第二道題目則有一定的難度.從題目的已知條件中不難發現所給函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），第一個問題中是要對函數的單調性加以證明，這時不難聯想到導函數，所以不妨求出其導函數f′（x）=m（emx-1）+2x，接下來要判定導函數的符號，而在導函數中有參數m和變量x存在，所以需要對其進行分類討論，首先如果m≥0，在x∈（0，+∞）時，有emx-1≥0，2x>0，這時f（x）′>0；而當x∈（-∞，0）時，emx-1≤0，2x<0，這時f（x）′<0；如果m<0，在x∈（0，+∞）時，emx-1<0，2x>0，這時f（x）′>0，而當x∈（-∞，0）時，emx-1>0，2x<0，這時f（x）′<0.因此函數f（x）在區間（-∞，0）上是單調遞減的，在區間（0，+∞）上是單調遞增的.通過對于第一個問題的解答，可以指導對于任意的m，函數f（x）在區間[-1，0]上都是單調遞減的，在區間[0，1]上都是單調遞增的，所以不難發現在區間[-1，1]上，函數f（x）的最小值為f（0），那么不難得到f（1）-f（0）≤e-1且f（-1）-f（0）≤e-1，即em-m≤e-1，e-m+m≤e-1. 這時不妨構造函數g（t）=et-t-e+1，不難求得函數g（t）的導函數g（t）′=et-1，所以在t<0時，g（t）′<0；在t>0時，g（t）′>0，所以函數g（t）在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增.又因為g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0，這時em-m≤e-1，e-m+m≤e-1 是成立的，而當m>1時，g（m）>0，即em-m>e-1，而當m<-1時，g（-m）>0，即em-m>e-1，所以m的取值范圍為[-1，1].這道題目對于導函數及函數單調性的相關知識進行了考查，同時在解題的過程中還需要構造輔助函數，這就要求學生要靈活地掌握和應用二次函數的相關知識.

二、二次函數復習建議

（一）夯實基礎，活用教材

在進行二次函數相關知識的復習時，首先要抓住教材，對于教材中的基礎知識一定要掌握牢靠，對于教材中所涉及的二次函數知識及一些常規的解題思路要全面地了解和掌握.

（二）注重數形結合

由于二次函數與解析幾何有著密不可分的關系，所以在對二次函數的相關知識進行復習時，可以借助于函數圖像，將函數與圖像結合在一起.在解答有關常見二次函數的問題時，學生應該養成畫函數圖像的習慣，通過函數圖像可以先對函數的性質及特征有一個初步的認識，雖然這種認識是感性上的，但是再通過理性的分析，就能夠有效地對問題加以解決，所以數形結合是一種非常重要的解答二元函數相關問題的思想方法.

三、結語

近些年來，隨著新課程改革的進一步深入，許多高考壓軸題目都是與二次函數相關的.通過對近些年來全國新課標Ⅱ卷數學試題的研究，筆者發現試卷中二次函數相關知識所占的比重也越來越大，所以必須在復習的過程中對二次函數的相關知識引起足夠的重視，通過有效的方式來進行二次函數相關知識的復習，從而在高考中取得較好的成績.