一道高考題賞析

胡科杰

一道高考題賞析

【摘要】以一道典型的高考試題為載體研究解題，通過一題多解，總結出解題的思路和方法，解題的目的不只是為了獲得答案，而是從解題過程中，發展思維能力，提高數學素養.

【關鍵詞】一題多解；向量；數形結合；發展思維；提升方法

一、一題多解

本題是以三角形為載體，以向量為背景的定值問題，由于平面向量是數形結合在一起的，是代數、平面幾何、三角函數、解析幾何等知識的交會點，因而解決此類問題主要是根據向量的數和形的雙重特征，并以此為切入點尋求已知與未知之間的內在聯系，探究解題的思路與方法.

解法7本題的本質是A點在以M點為圓心，AM為半徑的圓周上運動時AB·AC為定值，當點A無限接近A′點時，AB·AC=-16.

二、解法賞析

解法1的思路是利用向量的兩條基本法則：平行四邊形法則和三角形法則對已知條件進行列式，兩式平方后通過整體消元的思想得到所求的解.這種解法需要敏銳的觀察力.

解法2的思路是已知①的情況下如何求出AB2+AC2的和，這時如果知道有中線定理，求出AB2+AC2的和，結合①或②式，那么AB·AC的值就迎刃而解了.但這種解法對平面幾何知識的掌握要求比較高.

解法3的思路是利用余弦定理先列出求AB2與AC2的兩個等式，利用∠AMB與∠AMC互補，求出AB2+AC2的和，然后結合①或②式，求出AB·AC的值，這是一種基本的解法.

解法4的思路是所求解中的兩個向量用不共線的兩個已知量來表示，通過兩個向量的乘積直接得到結果.這種方法簡捷，但思維要求比較高.

解法5的思路是利用內積公式的定義來求解，想法自然，但求法不易，需要有良好的平面幾何知識，這種做法綜合考查了考生的邏輯思維能力、數學素養和數學潛能.

解法6的思路是通過向量坐標化來處理，這種做法想得自然，做得方便，只是不同的建系對解題繁簡有一定影響.

解法7的思路是找出A點的運動軌跡，即揭示了本題的數學本質，只要在運動軌跡上A點無限地接近A′點，本題就得解了.但這種做法需要有很高的數學素養，能看到數學的本質，對考生的要求很高.

以一道典型的高考試題為載體研究解題，通過一題多解，總結出解題的思維和方法，解題的目的不只是為了獲得答案，而是從解題過程中，發展思維能力，提高數學素養.從解題的角度來看，由題設給出的信息從不同的角度切入，不同的考生運用不同的方法均可求解，有繁有簡，有的解法能使解題更為合理、便捷，反映出不同的思維層次，體現了差異性和選擇性，具有較好的區分度.

本題的出彩之處還表現在平面向量與代數、平面幾何、三角函數、解析結合等知識的交會處命題，考查了考生對教材中相應內容的掌握情況.這類試題看似相識，但又不同，題型源于課本而高于課本，緊密貼近中學數學的教學實際，貼近學生的學習實際，體現高等學校招生的公平、公正.

【參考文獻】

[1]孫玉英，于興江.探究引申剖析啟示——一道高考題的賞析[J].中學數學研究，2013（10）：8-9.

[2]黃天星.賞析一道高考題的五種解法[J].福建教育，2015（5）：55-57.