直線的傾斜角和斜率的教學設計

洪開科

一、創設情境，激發求知

T：大家知道一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線，其中參數k有什么意義呢？今天我們一起來研究.

二、學生體驗，理解定義

T：在同一坐標系中畫出直線① y=2x，② y=2x-4，③ y=2x+4，思考兩條k值相同的直線有什么特點？

S：兩條k值相同的直線平行.

T：即k1=k2

Symbol^C@ l1∥l2.

T：在上面坐標系中再畫出直線④ y=x+4，⑤ y=4x+4，根據直線③④⑤思考k值不同的直線有什么特點？

S：傾斜程度不同，k值越大，傾斜程度越大.

T：用一個什么量來表示直線的傾斜程度，怎樣定義這個量？

S：討論得到，當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角.

T：傾斜角α的取值范圍是什么？

S：[0°，180°）.

T：想一想：直線l的k值與傾斜角α有什么關系？

S：探索得到，k=tanα，即一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示.

T：這就解決了我們開始提出的問題，直線方程y=kx+b中的參數k就是這條直線的斜率.

三、觀察探究發現三角公式

T：在上面坐標系中再畫出直線⑥ y=-2x+4，⑦ y=-x+4，⑧ y=-4x+4，想一想斜率相反的兩條直線它們的傾斜角有什么關系？

S：互補，即tan（180°-α）=-tanα.

T：練習，tan120°=；tan135°=；tan150°=.

四、根據k=tanα探索直線兩點的斜率公式

T：經過兩點有且只有（確定）一條直線.從而斜率也確定了.那么，已知直線上的兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），這條直線的斜率k怎樣計算？

S：合作討論推導，直線兩點的斜率公式k=tanα=y2-y1x2-x1.

S1：當P1P2的方向向上時，過P1作x軸的平行線，過P2作y軸的平行線，兩線交于點Q，在直角△P1P2Q中，可得k=tanα=y2-y1x2-x1.

S2：這是α為銳角的情形，若α為鈍角的情形，也要考慮.

k=tanα=-tan（180°-α）=y2-y1x2-x1.

S3：當P1P2的方向向下時，對于α為銳角、鈍角的情形，同樣可以得出公式.

T：同學們講得很好，這就完整地解決了已知直線上的兩點求這條直線斜率的問題，并且在討論中，我們知道直線斜率的計算與這兩點順序無關.

五、完善定義，理解傾斜角與斜率的關系

T：特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規定α=0°，k=0；

當直線l與x軸垂直時，α=90°，k不存在.

S：練習，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k存在.

直線的傾斜角α是銳角，則斜率；α是鈍角，則斜率.

六、學生練習鞏固所學內容

例1已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-2），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.

例2計算下列直線的斜率，并求出它們的傾斜角.

（1）A（-3，5），B（0，2）；（2）C（2，0），D（1，3）；

（3）E（a，b），F（a，c）；（4）G（-2，-1），F（1，3-1）.

例3已知點P（3，2），點Q在x軸上，若PQ的傾斜角為45°，求點Q的坐標.

例4在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，-1，2及-3的直線a，b，c，l.

編者按：這是一節值得推廣的教學設計，具有如下特點

1.從已學的一次函數開始提出問題，體現了知識體系的建構思想.

2.畫出幾個一次函數的圖像，感知斜率的意義，從而得出傾斜角與斜率的概念和關系，體現了從具體到抽象，從特殊到一般的認知規律.

3.畫出斜率互為相反數的兩條直線，感知未學又要補充的三角公式tan（180°-α）=-tanα，為推導直線兩點的斜率公式做好了鋪墊.