例談與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的不等式證明問題的教學(xué)策略

彭國榮

【摘要】近幾年高考關(guān)于導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用考查中，常會涉及不等式的證明問題，構(gòu)造函數(shù)法是解決不等式證明常用的有效方法之一.本文通過一個例題，對復(fù)雜函數(shù)的不等式證明問題進(jìn)行歸納方法，總結(jié)規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；構(gòu)造函數(shù)法

【基金項目】湖北省教育廳人文社會科學(xué)研究項目（16Y111）：問題導(dǎo)向教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究.

一、背景引入

近幾年數(shù)學(xué)高考卷都會涉及導(dǎo)數(shù)的一個大題，其第（1）問常考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，討論函數(shù)的單調(diào)性；第（2）問涉及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.其中利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)[1].

解決這類問題常用方法是構(gòu)造函數(shù)，即把不等式證明轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性或最值的問題，再用導(dǎo)數(shù)解決，從而證明不等式成立.常用的構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法有以下幾種方法：

1.移項構(gòu)造函數(shù)法.

2.換元法構(gòu)造函數(shù).

3.同取對數(shù)后構(gòu)造函數(shù).

4.從所給的已知形式上構(gòu)造函數(shù).

5.利用二次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明不等式.

如何構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來證明不等式是解問題的關(guān)鍵.主要原則是，觀察結(jié)構(gòu)特征，化繁為簡，化生為熟.很多導(dǎo)數(shù)綜合問題都是某幾個初等函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)?shù)姆纸饣蜃冃尉鸵欢苷业絾栴}的突破口，使問題簡單化，明確化.

二、實(shí)例分析

[1]杜志建.試題調(diào)研（第1輯）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2015：57.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2014：56-58.