高等數學中洛必達法則的教學研究

梁金華

【摘要】洛必達法則是求極限的一種重要而有效的方法.在教學實踐中，筆者發現傳統的教學安排教學效果并不好.本文分析了其中的原因，并針對工科學生的特點對洛必達法則的教學進行了深入研究，采用“先使用，后證明”的教學方式進行教學，并對洛必達法則使用中容易出錯的地方進行了分析和改進.

【關鍵詞】高等數學；洛必達法則；教學研究

高等數學的通用教材是同濟大學數學系編寫的《高等數學》，該書目前已是第七版.這本教材條理清晰，數學邏輯強，但有時完全按課本的安排教學效果并不是最好的.比如在講“導數的應用”這一節的內容時，洛必達法則的教學通常是定理介紹→定理證明→定理的應用，這樣的順序是數學思維發展的要求，對數學的學習是合理而且科學的.奇怪的是，照這樣的順序來教學，教學效果并不好.

不妨來分析一下原因.按照課本的安排，我們至少需要一個課時的時間來給出定理的內容，并對定理進行證明.而洛必達法則的證明要用到柯西中值定理，對學生而言，并不是很容易理解.當學生集中注意力來聽完一個證明，大家的思想普遍會有一個放松，待第二課時來介紹定理的應用，學生的注意力明顯沒有第一課時那么集中，很容易只顧表面，而忽視洛必達法則的使用條件.一個課時要介紹洛必達法則在各類未定式求極限中的使用，時間緊，內容多，學生不容易完全接受，這是造成教學效果不好的主要原因.

對理工科的學生而言，應側重于例題的講解和練習.

在洛必達法則的引入上，為了能激發學生的興趣，可以借用文學里常用的“倒敘”手法，先使用，后證明.

先給出一個“00”例題，讓學生去求極限.

例1求limx→asinx-sinax-a.

在大家費了九牛二虎之力求出答案后，教師直接把分式極限轉化為對分子分母各自求導后再求極限.求解如下：

limx→asinx-sinax-a=limx→acosx1=cosa.

這時大部分學生都會很吃驚，進而就會產生興趣，想弄明白為什么可以這么求.

先不作證明，接下來再給一個“∞∞”的例子，要求學生去求極限.

例2求limx→+∞lnxxn.

這個題用以前學過的方法比較困難.這時部分學生會使用以前的方法求，部分學生會依葫蘆畫瓢，把題目轉化為分子分母各自求導后再求極限.最后學生發現兩種方法求出來結果是一樣的.學生會更吃驚，學習的興趣也就更濃.

這時再引出定理1和定理2，并對定理進行分析和證明.重點強調定理的條件：

（1）limx→af（x）=0（或∞），limx→ag（x）=0（或∞）；（2）f（x）和g（x）在x=a的某個去心鄰域內可導；（3）limx→af′（x）g′（x）=A（或∞）.則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），x→∞時定理同樣成立.

并注意定理的延伸，可以提問：“若一次求導后不能求出極限而又滿足洛必達法則的條件又該怎么做？”引導學生得出limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=limx→af″（x）g″（x）=….

注意強調反復使用洛必達法則的條件.此時學生對洛必達法則的使用已經有了清晰的認識，可以回到剛才給出的例題，結合例題，分析鞏固使用洛必達法則求00和∞∞兩類最基本類型的極限.

第二個課時，則是洛必達法則使用的拓展.00和∞∞是最基本的類型，除了這兩種，還有0·∞，∞-∞，00，∞0，1∞等類型的未定式.對這些未定式可以采取經過恒等變形，化成00和∞∞后再使用洛必達法則.通常分為三類來處理.

（1）0·∞型.根據“無窮小的倒數是無窮大”化成00或∞∞型，再使用洛必達法則.轉化遵循“復雜置上”的原則，即形式復雜、求導復雜的函數放在分子上，形式簡單，求導容易的函數放在分母上，盡可能保證分母部分求導簡單.這樣可以減少計算錯誤.

（2）∞-∞型.這通常會出現分式運算，如果沒有分式要盡可能轉化為分式，通分后進一步轉化為00型，再使用洛必達法則.

（3）00，∞0，1∞也稱冪指類型，是使用洛必達法則中較為復雜的類型.課本上的方法是“先取對，求極限，再代值”，但使用這個方法時，經過繁雜的運算，很多學生會忘記“代值”這一步，求出對數的極限后就以為得到了答案，因此常常出錯.事實上，為了避免代值，這種類型的題我們可以根據指數函數和對數函數的關系做恒等變形，再利用連續函數的性質，一步到位，解法更為簡捷.

洛必達法則在求極限的問題中占有很重要的作用，方法雖好，但不能濫用，在洛必達法則的教學中，有兩點要注意強調.

（1）使用前判斷是否滿足定理的條件.如課本134頁例2，每次使用洛必達法則前都要判斷是否是00或∞∞型，否則不能用；（2）有的式子極限存在，但不能用洛必達法則，我們稱之為“洛必達法則失效”.

例如limx→∞x+sinxx，它的極限存在，而使用洛必達法則，極限不存在.這是因為使用時違背了定理的第三個條件limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），因此洛必達法則失效了.由于正弦函數和余弦函數的特殊性，sin′x=cosx，cos′x=-sinx，一般而言，當x→∞，出現sinx，cosx，或當x→0，出現sin1x，cos1x，都不能使用洛必達法則.