一道全國大學生數學競賽試題的推廣

范志勇+李中杰

【摘要】受第七屆全國大學生數學競賽一道預賽試題的啟發，研究形如AX=XB的矩陣方程只有零解的充分條件，將競賽試題推廣到更為一般的形式.

【關鍵詞】大學生數學競賽；矩陣；矩陣方程；特征值

【中圖分類號】O151.2【文獻標識碼】C

【基金項目】河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目（2014GGJS-193）

一、引言

2015年第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題：

設A為n階實方陣，其n個特征值皆為偶數.試證明關于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

證明如下.

設C=I+A，B=A2，A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，則B的n個特征值為λ21，λ22，…，λ2n；

C的n個特征值為μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多項式為pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.

若X為X+AX-XA2=0的解，則有CX=XB；進而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，結果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n個特征值皆為偶數，而C的n個特征值皆為奇數，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆為可逆矩陣，結果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.

受此啟發，考慮一般的問題：方陣A與B滿足什么條件時，關于X的矩陣方程AX=XB只有零解.

二、主要結論

定義1設A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，則稱λ是矩陣A的一個特征值，稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量.

定義2設A∈Pn×n，λ∈P.矩陣λE-A的行列式

|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n

λ-a21λ-a22…λ-a2n

λ-an1λ-an2…λ-ann

稱為矩陣A的特征多項式，記為fA（λ）.

注fA（λ）是一個關于λ的n次多項式，其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.

引理1[哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理]設A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩陣A的特征多項式，則

fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.

注這表明矩陣A的特征多項式是矩陣A的零化多項式.

引理2設A∈Cn×n，B∈Cm×m，則fA（B）（fB（A））是m階（n階）可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.

證設A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，B的m個特征值為μ1，μ2，…，μm，則

fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），

fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），

于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.

注意到對任意1≤k≤n，有

|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），

故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.

因此，若fA（B）可逆，則

|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，

于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），從而矩陣A與B無公共特征值；反之亦真.

同理可證fB（A）是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.（證完）

定理1設A∈Cn×n，B∈Cm×m，A與B無公共特征值，則矩陣方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩陣.

首先，X=0是AX=XB的一個解.其次，設X=X0是AX=XB的任一解，則AX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，進而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多項式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k階主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.

由引理1知fA（A）=0，則X0fA（B）=0，又A與B無公共特征值，則由引理2知fA（B）是m階可逆矩陣，于是X0=0.因此，矩陣方程AX=XB只有零解.（證完）

三、應用

解決第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題.

矩陣方程X+AX-XA2=0可變形為（E+A）X=XA2，下面只要證E+A與A2無公共特征值即可.

注意到A的n個特征值皆為偶數，則A2的n個特征值皆為偶數，E+A的n個特征值皆為奇數，故E+A與A2無公共特征值.由定理1立得矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.