關于一道極限計算題的一題多解研究

陳勇+李志文

【摘要】本文通過對一道極限計算題的深入分析，借助等價無窮小替換、洛必達法則、微分中值定理、泰勒公式等方法，引出了求解該類特殊極限問題的常用思路，進而達到一題多解，融合知識的研究目的.

【關鍵詞】等價無窮小；拉格朗日中值定理；導數定義；泰勒公式

在高等數學中，極限理論是微積分理論中極其重要的基礎內容，是微積分學的靈魂.極限運算能力的強弱直接決定著學習者的微積分水平高低，掌握極限的多種求解方法，將微積分知識巧妙融合，是學好微積分課程的必由之路，也是微積分愛好者的必備良技.

極限的求解方法多種多樣且富于變化，一些特殊類型的極限計算題，更是具有一題多解，趣味無窮的特點.有這么一道極限計算題 limx→0ex-esinxx-sinx，考察易知其為00型極限類型，且待求極限函數ex-esinxx-sinx是典型的函數增量比值形式，使人極易聯想到與此有關的導數定義、拉格朗日中值定理等概念，而由函數f（x）=et也很容易聯想到“x→0時，ex-1等價于x”，因此可考慮利用等價無窮小替換、洛必達法則、微分中值定理、導數定義、泰勒公式等方法求解極限.

【解法1】采用等價無窮小替換求解00型極限

【小結與反思】

在高等數學眾多知識點中，學習者應勤思巧練，舉一反三，學會多角度、多層次、多路徑研究問題，掌握思路和方法，逐步提高分析結構、融合知識、解決問題的能力，這將極大地幫助學習者加深對知識的認知和理解，從而達到事半功倍的學習效果.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]吳傳生.經濟數學——微積分[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009.