因子分析法在數(shù)學(xué)建模比賽中的應(yīng)用

李長(zhǎng)偉+陳蕓+陽(yáng)彩霞

【摘要】根據(jù)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程的成績(jī)，采用因子分析法得到了數(shù)學(xué)建模比賽所需的幾項(xiàng)重要能力因子，從而為選拔隊(duì)員組建參賽隊(duì)伍提供了一種客觀的、定量的選拔方式，與傳統(tǒng)方法結(jié)合效果較好.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；因子分析；選拔

【中圖分類號(hào)】G642

【基金項(xiàng)目】武漢市市屬高校產(chǎn)學(xué)研及教學(xué)研究項(xiàng)目“基于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式研究”（項(xiàng)目編號(hào)2014216）

一、引言

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已在各個(gè)高校中展開，并成為影響最大、參賽人數(shù)最多的大學(xué)生課外科技活動(dòng).[1]在以往的數(shù)學(xué)建模隊(duì)員選拔中，多采用根據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程和數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程分?jǐn)?shù)由高到低，兼顧院系差別，以及男女生比例等條件進(jìn)行選拔組隊(duì)參賽.平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)的影響不是最重要的.[2]雖然加入了其他遴選條件，但在后續(xù)組隊(duì)參加建模比賽過程中，依然暴露出許多問題，突出表現(xiàn)是模型建立、求解、編程、論文寫作、查閱文獻(xiàn)等能力不均衡；造成部分參賽隊(duì)伍完成比賽十分艱難，競(jìng)賽成績(jī)自然也不理想.如何選拔優(yōu)秀的學(xué)生參加比賽，更加科學(xué)合理地組建比賽團(tuán)隊(duì)在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織工作中顯得尤為重要.

二、研究方法

因子分析（Factor Analysis）是由英國(guó)心理學(xué)家Spearman在1904年提出來的[3]，其數(shù)學(xué)模型為：設(shè)有p個(gè)變量xi（i=1，2，…，p）可表示為：

其矩陣形式為：X=AF+ε，式中F稱為因子，A為因子載荷矩陣，ε稱為特殊因子，表示原有變量不能被因子解釋的部分.因子分析是通過研究原始變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，用少數(shù)幾個(gè)因子來反映原來眾多變量的主要信息，希望能夠發(fā)現(xiàn)更加通俗易懂的解釋.如難以得出合理解釋時(shí)，需要進(jìn)一步做因子旋轉(zhuǎn).所以因子分析非常適合研究影響數(shù)學(xué)建模隊(duì)員選拔的因素.

在數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)過程中，通過課堂講授與課下練習(xí)促進(jìn)學(xué)生能力的提高是必不可少的手段.但每個(gè)學(xué)校培訓(xùn)方式、課程選取或能力培養(yǎng)側(cè)重點(diǎn)不盡相同.某高校開展數(shù)模基礎(chǔ)、統(tǒng)計(jì)模型、預(yù)測(cè)與綜合評(píng)價(jià)模型、數(shù)學(xué)軟件Matlab、運(yùn)籌學(xué)與Lingo軟件、小論文共6門課程培訓(xùn)，將20名數(shù)學(xué)建模預(yù)選隊(duì)員姓名按序號(hào)1，2，3，…進(jìn)行編號(hào)，在培訓(xùn)期間的各門課程成績(jī)整理成數(shù)據(jù)表（略）.

通過SPSS220軟件導(dǎo)入上述數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，可以得出：KMO檢驗(yàn)為0.642，Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為38921，相應(yīng)的概率P值為0001.說明各門課程成績(jī)變量之間獨(dú)立性假設(shè)不成立，可以用因子分析做降維處理尋找潛在因子.

當(dāng)提取四個(gè)因子時(shí)方差累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到了91.393%，因子分析效果較為理想.為使因子含義更加清晰，采用極大方差法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如表1所示.可以發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模型、預(yù)測(cè)與綜合評(píng)價(jià)模型在第一因子F1上有著較高的載荷，可表示為建立模型能力；數(shù)模基礎(chǔ)課程在第二因子F2上有著較高的載荷，可命名為數(shù)學(xué)建模潛力；數(shù)學(xué)軟件Matlab、運(yùn)籌學(xué)與Lingo軟件在第三因子F3上有較高載荷，說明是編程能力；小論文訓(xùn)練課程在第四個(gè)因子F4上有較高載荷，可命名為論文寫作能力.

可分為能力均衡隊(duì)員、特色鮮明隊(duì)員、一般隊(duì)員、能力較差隊(duì)員四類.其中編號(hào)1，2，3，4，5，8六位隊(duì)員各項(xiàng)因子得分至少是三項(xiàng)以上是正分?jǐn)?shù)，說明四種能力至少具備三種，能力較為均衡，可作為領(lǐng)隊(duì)隊(duì)員培養(yǎng)，例如編號(hào)為2的隊(duì)員在第一、二、三因子上得分很高，說明有很強(qiáng)的建立模型能力、數(shù)學(xué)建模潛力以及編程能力.而編號(hào)為6，7，9，10，13，14六位隊(duì)員四項(xiàng)因子得分中有兩項(xiàng)為正，兩項(xiàng)為負(fù)數(shù)，說明某兩個(gè)能力高于平均水平，而又存在兩個(gè)短板.類似于偏科現(xiàn)象，這類隊(duì)員要合理搭配，發(fā)揮其最大作用.例如編號(hào)為7的隊(duì)員有較強(qiáng)的建立模型能力和建模潛力，但是編程能力和寫作能力卻非常糟糕.編號(hào)為11，16，17，18，19號(hào)五位隊(duì)員為能力一般隊(duì)員可作為每個(gè)比賽隊(duì)伍中的第三位隊(duì)員.雖然僅有一項(xiàng)因子得分高于平均水平，有三項(xiàng)短板，但組隊(duì)得當(dāng)依然可以發(fā)揮最大能效.例如16號(hào)隊(duì)員有著很強(qiáng)的寫作能力，可以和其他領(lǐng)隊(duì)隊(duì)員以及特色鮮明隊(duì)員的能力形成互補(bǔ).編號(hào)為12，15，20三位隊(duì)員的四項(xiàng)因子得分均為負(fù)數(shù)，各項(xiàng)能力都低于平均水平，但這些隊(duì)員要慎重對(duì)待，需要進(jìn)行專門的談話以及摸底工作.

四、總結(jié)

1.本模型通過對(duì)隊(duì)員培訓(xùn)成績(jī)分析得出建立模型能力、數(shù)學(xué)建模潛力、編程能力以及寫作能力四種因子，這也是在數(shù)學(xué)建模比賽中非常重要的能力，與以往的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)十分吻合.

2.在組隊(duì)過程中，每支隊(duì)伍3人一組，仍需要分析法和定性的挑選方式共同確定最終組隊(duì)情況.

3.因?yàn)闃颖救萘枯^小以及僅以一次培訓(xùn)成績(jī)作分析，在后續(xù)的工作中可結(jié)合比賽最終成績(jī)和多次培訓(xùn)成績(jī)，模型會(huì)更加完善.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王浩華，羅婷.數(shù)學(xué)建模素質(zhì)評(píng)估的定量分析[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，30（1）：9.

[2]朱寧，陳克西，李竹梅.主成分分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，1999，15（4）：109.

[3]司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].第2版.北京：國(guó)防工業(yè)出版，2015：240.

[4]薛薇.基于SPSS的數(shù)據(jù)分析[M].第2版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版，2011：339.